4宮崎大学 2009年 数学 第4問解答・解説

$u=e^x$ とおくと，$u>0$ であり，$$\displaystyle f(x)=\frac{e}{e+u}+\frac{eu}{1+eu}-1=\frac{(e^2-1)u}{(e+u)(1+eu)}=\frac{e^2-1}{e^2+1+e(u+u^{-1})}.$$ここで，$$e^x+e^{-x}-2=\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2\geq 0$$であり，等号成立は $x=0$ のときに限る。したがって分母は $x=0$ のとき最小となる。分子 $e^2-1$ は正なので，$f(x)$ は $x=0$ で最大となる。$$\boxed{x=0}$$

$\displaystyle G(x)=\log\left(\frac{1+e^{x+1}}{e+e^x}\right)$ とおくと，$$\displaystyle G'(x)=\frac{e^{x+1}}{1+e^{x+1}}-\frac{e^x}{e+e^x}.$$また，$$\displaystyle \frac{1}{1+e^{x-1}}-1=\frac{e}{e+e^x}-1=-\frac{e^x}{e+e^x},\qquad \frac{1}{1+e^{-x-1}}=\frac{e^{x+1}}{1+e^{x+1}},$$より $G'(x)=f(x)$ である。さらに，$$\displaystyle G(-a)=\log\left(\frac{1+e^{1-a}}{e+e^{-a}}\right)=\log\left(\frac{e^a+e}{e^{a+1}+1}\right)=-G(a).$$よって，$$\displaystyle I(a)=G(a)-G(-a)=2\log\left(\frac{1+e^{a+1}}{e+e^a}\right).$$

最後に，$$\displaystyle \frac{1+e^{a+1}}{e+e^a}=\frac{e+e^{-a}}{1+e^{1-a}}\longrightarrow e\qquad(a\to\infty)$$なので，$$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}I(a)=2\log e=2.$$