5宮崎大学 2009年 数学 第5問解答・解説

解答 第 $k$ 項を $$\displaystyle a_k=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}$$ とおく。$(k+1/(2k))^2\ge k^2+1$ で、両辺は正なので $$\displaystyle \sqrt{k^2+1}\le k+\frac1{2k}.$$ 従って $$\displaystyle 1-\frac1{2k^2}\le \frac{k}{k+\frac1{2k}} =\frac{2k^2}{2k^2+1} \le a_k\le1.$$ また $k\ge2$ では $$\displaystyle \frac1{k^2}\le\frac1{k(k-1)}=\frac1{k-1}-\frac1k,$$ よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\frac1{k^2} \le1+\sum\limits _{k=2}^n\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right) =2-\frac1n<2.$$ 以上から $$\displaystyle 1-\frac1n \le\frac1n\sum\limits _{k=1}^n a_k \le1.$$ はさみうちにより $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\left(\frac1{\sqrt2}+\frac2{\sqrt5}+\cdots+\frac n{\sqrt{n^2+1}}\right)=1}.$$

分類 単元: 数列の極限、数列の和。

方法: 各項を1との差で評価し、逆二乗和を望遠和で抑えて平均をはさみうちにする。

テーマ: 1に近づく項の算術平均の極限。