4琉球大学 2003年 数学 第4問解答・解説

問1について、$0\leq x\leq 1$ で $$\displaystyle \frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}$$ だから、 $$\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{1+x}\,dx =\left[x-\log(1+x)\right]_0^1 =1-\log 2.$$ また、任意の自然数 $n$ に対して $$\displaystyle I_n+I_{n+1} =\int_0^1\frac{x^n+x^{n+1}}{1+x}\,dx =\int_0^1x^n\,dx =\frac{1}{n+1}.$$

問2では、$0\leq x\leq1$ より $$\displaystyle \frac12\leq\frac{1}{1+x}\leq1.$$ $x^n\geq0$ を掛けてから $0$ から $1$ まで積分すると $$\displaystyle \frac12\int_0^1x^n\,dx \leq I_n\leq \int_0^1x^n\,dx.$$ したがって $$\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}\leq I_n\leq\frac{1}{n+1}.$$

問3では、問1の関係を $n=k-1$ として用いると、$k\geq2$ に対して $$\displaystyle \frac1k=I_{k-1}+I_k.$$ よって $n\geq2$ について、交代和を展開して隣り合う項を消去すれば $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} &=1+\sum\limits _{k=2}^{n}(-1)^{k-1}(I_{k-1}+I_k)\\ &=1-I_1+(-1)^{n-1}I_n\\ &=\log 2+(-1)^{n-1}I_n. \end{aligned}$$ 問2から $0\leq I_n\leq1/(n+1)$ であるので、はさみうちにより $I_n\to0$。したがって $(-1)^{n-1}I_n\to0$ となり、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\log 2$$ を得る。