1琉球大学 2003年 数学 第1問解答・解説

問1　積と合成関数の微分を使うと、 $$\begin{aligned} y'&=2x\sin(3x+5)+x^2\cdot3\cos(3x+5)\\ &=2x\sin(3x+5)+3x^2\cos(3x+5). \end{aligned}$$ 問2　$\cos x-1/2$ は $0\le x\le\pi/3$ で非負、$\pi/3\le x\le\pi/2$ で非正である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\left|\cos x-\frac12\right|dx &=\int_0^{\pi/3}\left(\cos x-\frac12\right)dx+\int_{\pi/3}^{\pi/2}\left(\frac12-\cos x\right)dx\\ &=\left[\sin x-\frac x2\right]_0^{\pi/3}+\left[\frac x2-\sin x\right]_{\pi/3}^{\pi/2}\\ &=\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)+\left(\frac\pi{12}-1+\frac{\sqrt3}{2}\right)\\ &=\sqrt3-1-\frac\pi{12}. \end{aligned}$$ 問3　各項を $$\displaystyle \left(\frac{n+k}{n^4}\right)^{1/3}=\frac1n\left(1+\frac kn\right)^{1/3}$$ と表す。$f(x)=(1+x)^{1/3}$ は $0\le x\le1$ で増加するから、 $$\displaystyle \frac1n f\left(\frac{k-1}{n}\right)\le\int_{(k-1)/n}^{k/n}f(x)dx\le\frac1n f\left(\frac kn\right).$$ $k=1,\ldots,n$ で足すと、左端和と右端和の間に $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ が入る。両和の差は $$\displaystyle \frac{f(1)-f(0)}n=\frac{\sqrt[3]2-1}{n}\longrightarrow0.$$ 従って求める極限は $$\displaystyle \int_0^1(1+x)^{1/3}dx=\left[\frac34(1+x)^{4/3}\right]_0^1=\frac34(2^{4/3}-1).$$