3琉球大学 2003年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle 0\le\alpha<\beta\le\frac{\pi}{2}$ であり、$\displaystyle 0\le x<\frac{\pi}{2}$ では $\displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x>0$ だから、$\sin x$ は $\alpha\le x\le\beta$ の範囲で増加する。したがって、$\alpha\le x\le t$ なら $\sin x\le\sin t$、$t\le x\le\beta$ なら $\sin x\ge\sin t$ である。よって積分を $x=t$ で分けると、 $$\displaystyle \begin{aligned} S(t) &=\int_{\alpha}^{t}(\sin t-\sin x)\,dx +\int_{t}^{\beta}(\sin x-\sin t)\,dx\\ &=(t-\alpha)\sin t+\cos t-\cos\alpha +\cos t-\cos\beta-(\beta-t)\sin t\\ &=(2t-\alpha-\beta)\sin t+2\cos t-\cos\alpha-\cos\beta. \end{aligned}$$ これを $t$ で微分すると、 $$S'(t)=(2t-\alpha-\beta)\cos t.$$ ここで $\displaystyle m=\frac{\alpha+\beta}{2}$ とおく。$\displaystyle m<\frac{\pi}{2}$ であり、$t<m$ では $2t-\alpha-\beta<0$、また $\cos t>0$ なので $S'(t)<0$ である。$m<t<\beta$ では $2t-\alpha-\beta>0$、$\cos t>0$ なので $S'(t)>0$ である（$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}$ の場合も、この開区間では $\cos t>0$ である）。したがって $S(t)$ は $t=m$ まで減少し、その後増加する。ゆえに最小にする値は $$\displaystyle t=\frac{\alpha+\beta}{2}$$ である。