2琉球大学 2003年 数学 第2問解答・解説

円 $x^{2}+y^{2}-4x+3=0$ は $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ と変形できるから、中心は $O(2,0)$、半径は $1$ である。

求める円の中心を $P(a,b)$、半径を $r$ とすると、直線 $x=-1$ に接するので $r=|a+1|$ である。また、与えられた円に外接する条件は $$\sqrt{(a-2)^{2}+b^{2}}=1+|a+1|$$ である。

$a\geq -1$ のとき右辺は $a+2$ なので、両辺を平方して $$(a-2)^{2}+b^{2}=(a+2)^{2}$$ より $b^{2}=8a$ を得る。この式から $a\geq0$ であり、逆に $b^{2}=8a$ なら $a+2>0$ だから元の距離の式も成り立つ。

一方、$a<-1$ のとき右辺は $-a$ であり、平方すると $b^{2}=4a-4<0$ となって不可能である。したがって、 $$C:\quad y^{2}=8x.$$

次に、直線 $x=2$ と $C$ の交点では $y^{2}=16$ だから、$y_{1}y_{2}=4(-4)=-16$ である。

$x=2$ でない直線は $y=m(x-2)$ と書ける。$C$ 上では $x=y^{2}/8$ なので、交点の $y$ 座標は $$m y^{2}-8y-16m=0$$ を満たす。$m=0$ のときは交点が $(0,0)$ の1点だけなので、条件より $m\ne0$。この二次方程式の判別式は $64+64m^{2}>0$ であり、2つの根が交点の $y_{1},y_{2}$ である。解と係数の関係から $$\displaystyle y_{1}y_{2}=\frac{-16m}{m}=-16.$$ したがって、どの場合も求める積は $-16$ である。