3群馬大学 2003年 数学 第3問解答・解説

多項式を $P(z)=z^3-az^2+2az+b$ とする。$P(-2)=0$ より $b=8a+8$ であり、因数分解すると $$P(z)=(z+2)\left(z^2-(a+2)z+4(a+1)\right).$$

(1) 残りの2解はこの二次式の解である。異なる非実根をもつ条件は判別式が負であることだから $$\Delta=(a+2)^2-16(a+1)=a^2-12a-12<0.$$ この二次不等式の根は $6\pm4\sqrt3$ である。したがって $$6-4\sqrt3<a<6+4\sqrt3.$$

(2) 二次式の解を $x\pm yi$ とおくと、解と係数の関係より $$2x=a+2,\qquad x^2+y^2=4(a+1).$$ したがって $\displaystyle x=\frac{a+2}{2}$ であり、これらから $$\displaystyle y^2=\frac{-a^2+12a+12}{4}=-x^2+8x-4.$$ よって $$(x-4)^2+y^2=12.$$ (1)の範囲に対応する $x$ の範囲は $4-2\sqrt3<x<4+2\sqrt3$ である。また $y>0$ なので、点 $x+yi$ の軌跡は中心 $(4,0)$、半径 $2\sqrt3$ の円の上半円で、両端を除いた部分である。

(3) 実軸上の頂点 $-2$ から2つの共役な頂点までの距離は等しく、底辺の長さは $2y$ である。正三角形となる条件は、これらの辺の長さも等しいこと、すなわち $$(x+2)^2+y^2=(2y)^2,\qquad (x+2)^2=3y^2.$$ これを $(x-4)^2+y^2=12$ と合わせると $$\displaystyle x^2+\frac{(x+2)^2}{3}-8x+4=0 \quad\text{すなわち}\quad 4(x-1)(x-4)=0,$$ したがって $x=1$ または $x=4$ である。$y>0$ と $(x+2)^2=3y^2$ から、それぞれ $$(x,y)=(1,\sqrt3)\quad \text{または}\quad (4,2\sqrt3).$$ $2x=a+2$ および $b=8a+8$ より $$(a,b)=(0,8)\quad \text{または}\quad (6,56).$$ 以上で(1)〜(3)を得る。