群馬大学 2003年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

群馬大学2003年度第2問

a, b, c を定数とする。

行列 $A = \begin{pmatrix} a & a \\ -2 & b \end{pmatrix}$ ， $B = \begin{pmatrix} -1 & c \\ 2a & 1 \end{pmatrix}$ ， $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ について AB = E が成り立つとき

(1) a, b, c の値を求めよ。

(2) $A^{3}-B^{3}$ の逆行列 $(A^{3}-B^{3})^{-1}$ を求めよ。

(3) $(A^{5}-B^{5})^{-1}+(A^{7}-B^{7})^{-1}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $(a,b,c)=(1,-1,-1)$ 。 (2) $\displaystyle (A^3-B^3)^{-1}=\frac12A=\begin{pmatrix}\frac12&\frac12\\-1&-\frac12\end{pmatrix}$ 。 (3) $O$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $AB=E$ を成分比較すると $-a+2a^2=1,\quad a(c+1)=0,\quad ab=-1,\quad b-2c=1.$ 第1式から $a=1$ または $a=-1/2$ 。前者は $b=c=-1$ で全式を満たし、後者は $b=2,c=-1$ となり最後の式に反する。 (2) 得た値で $A=\begin{pmatrix}1&1\\-2&-1\end{pmatrix},\quad B=-A,\quad A^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-E.$ 従って $A^{-1}=-A,\ A^3=-A,\ B^3=A$ 、よって $\displaystyle (A^3-B^3)^{-1}=(-2A)^{-1}=\frac12A =\begin{pmatrix}1/2&1/2\\-1&-1/2\end{pmatrix}.$ (3) $A^2=-E$ より $A^5=A,A^7=-A$ 、また $B=-A$ より $B^5=-A,B^7=A$ 。したがって $\displaystyle (A^5-B^5)^{-1}+(A^7-B^7)^{-1} =(2A)^{-1}+(-2A)^{-1}=-\frac12A+\frac12A=O.$

この問題で使う考え方

行列の成分比較
2×2行列の直接乗算
逆行列の検算
べきの周期性

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。