1徳島大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) 行列積を成分ごとに計算すると $$P^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad P^3=P^2P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=E.$$

(2) 各成分の積を計算すると $$AX=\begin{pmatrix} ax+bz+cy&ay+bx+cz&az+by+cx\\ cx+az+by&cy+ax+bz&cz+ay+bx\\ bx+cz+ay&by+cx+az&bz+cy+ax \end{pmatrix}.$$ 一方 $$\alpha E+\beta P+\gamma P^2 =\begin{pmatrix}\alpha&\beta&\gamma\\\gamma&\alpha&\beta\\\beta&\gamma&\alpha\end{pmatrix}$$ であるから、対応する成分を比べて $$\alpha=ax+bz+cy,\qquad \beta=ay+bx+cz,\qquad \gamma=az+by+cx.$$

(3) 与えられた行列を $M$ とすると、(1) より $$M=E+P-3P^2.$$ $N=rE+sP+tP^2$ の形で積が $E$ になるものを探す。$P^3=E$ を使った成分計算から $$MN=(r+t-3s)E+(r+s-3t)P+(t+s-3r)P^2.$$ したがって係数を比べると $$r+t-3s=1,\qquad r+s-3t=0,\qquad t+s-3r=0.$$ これを解くと $r=t=-1/4,\ s=-1/2$ であり、 $$\displaystyle N=-\frac14E-\frac12P-\frac14P^2 =-\frac14\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&2\\2&1&1\end{pmatrix}.$$ 同じ成分計算で $MN=NM=E$ を確認できるので、これが求める逆行列である。