徳島大学 2003年数学第4問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面三角関数微分法積分法

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1問題

徳島大学2003年度第4問

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x=t^2\cos t,\qquad y=t^2\sin t\qquad(0\leq t\leq2\pi)$ を $C$ とする。

(1) $t\neq0$ のとき， $C$ と $y$ 軸の交点の座標を求めよ。また，その点における $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $C$ の長さを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1）交点は $\displaystyle (0,\frac{\pi^2}{4}),(0,-\frac{9\pi^2}{4})$ 。それぞれのdy/dxは $\displaystyle -\frac4\pi,-\frac4{3\pi}$ 。（2）弧長は $\displaystyle \frac83((\pi^2+1)^{3/2}-1)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $t\ne0$ と条件区間から $t>0$ 。 $y$ 軸との交点では $x=0$ だから $\cos t=0$ 、従って $t=\pi/2,3\pi/2$ 。対応する点は $(0,\pi^2/4),\qquad(0,-9\pi^2/4).$ 微分すると $x'=2t\cos t-t^2\sin t,\qquad y'=2t\sin t+t^2\cos t.$ $t=\pi/2$ では $(x',y')=(-\pi^2/4,\pi)$ 、 $t=3\pi/2$ では $(x',y')=(9\pi^2/4,-3\pi)$ 。どちらも $x'\ne0$ なので $dy/dx=y'/x'$ を使えて、順に $-4/\pi,-4/(3\pi)$ 。

(2) 曲線の長さは $\displaystyle L=\int_0^{2\pi}\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt.$ 平方和を展開すると交差項が相殺され、 $(x')^2+(y')^2=4t^2+t^4$ 。区間上で $t\ge0$ だから $\displaystyle L=\int_0^{2\pi}t\sqrt{t^2+4}\,dt.$ $u=t^2+4$ と置けば $du=2t\,dt$ となり、 $\displaystyle L=\frac13\left[(t^2+4)^{3/2}\right]_0^{2\pi} =\frac83\left((\pi^2+1)^{3/2}-1\right).$

この問題で使う考え方

媒介変数の微分
dy/dx=y'/x'
弧長公式
置換積分

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