5神戸大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) $x=\sin t$ より $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\cos t$。また積の微分と加法定理から $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\cos t\cos(t-\frac\pi6)-\sin t\sin(t-\frac\pi6)=\cos(2t-\frac\pi6).$$ 区間 $0\le t\le\pi$ で、$dx/dt=0$ は $\displaystyle t=\frac\pi2$、$dy/dt=0$ は $\displaystyle t=\frac\pi3,\frac{5\pi}{6}$。

(2) $0\le x\le1$ において二つの枝は $$\displaystyle y=\frac{x^2}{2}\pm\frac{\sqrt3}{2}x\sqrt{1-x^2}.$$ 主な点は、$t=0,\pi$ で $(0,0)$、$\displaystyle t=\frac\pi3$ で $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2},\frac34)$、$\displaystyle t=\frac\pi2$ で $\displaystyle (1,\frac12)$、$\displaystyle t=\frac{2\pi}{3}$ で $\displaystyle (\frac{\sqrt3}{2},0)$、$\displaystyle t=\frac{5\pi}{6}$ で $\displaystyle (\frac12,-\frac14)$。これらの点を順に結ぶ。原点で二枝が交差し、$\displaystyle (1,\frac12)$ には垂直接線をもつ。

(3) $y\le0$ の枝は $\displaystyle \frac{2\pi}{3}\le t\le\pi$ である。したがって囲まれた面積は $$\displaystyle -\int_{x=0}^{\sqrt3/2} y\,dx =\int_{2\pi/3}^{\pi} \sin t\cos(t-\frac\pi6)\cos t\,dt.$$ $$\displaystyle \sin t\cos(t-\frac\pi6)\cos t=\frac{\sqrt3}{2}\sin t\cos^2t+\frac12\sin^2t\cos t,$$ ゆえに原始関数を $\displaystyle -\frac{\sqrt3}{6}\cos^3t+\frac16\sin^3t$ とできる。よって面積は $$\displaystyle \left[-\frac{\sqrt3}{6}\cos^3t+\frac16\sin^3t\right]_{2\pi/3}^{\pi}=\frac{\sqrt3}{12}.$$

x=sin tを二価の枝に分けて曲線の概形を示す。dy/dtの零点は水平接線の候補、dx/dt=0は垂直接線の候補となる。yが非正になる区間を確認して、媒介変数の面積積分を計算する。