3神戸大学 2023年 数学 第3問解答・解説

1から$2n$までの整数には、奇数が$n$個、偶数が$n$個ある。また、同時に取り出す2枚または3枚の組合せは、それぞれ全て同様に確からしい。　 (1) 和が偶数となるのは、2枚がともに奇数またはともに偶数のときである。したがって、求める確率は $$\displaystyle \frac{\binom{n}{2}+\binom{n}{2}}{\binom{2n}{2}} =\frac{n(n-1)}{n(2n-1)} =\frac{n-1}{2n-1}.$$ (2) 3枚の和が偶数となるのは、奇数カードを0枚または2枚取り出すときである。よって求める確率は $$\displaystyle \frac{\binom{n}{3}+\binom{n}{2}\binom{n}{1}}{\binom{2n}{3}} =\frac{\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+\dfrac{n^2(n-1)}{2}}{\dfrac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{6}} =\frac{\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{3}}{\dfrac{2n(n-1)(2n-1)}{3}} =\frac12.$$ ここで$n=2$のときも$\displaystyle \binom{n}{3}=0$で、同じ式が成り立つ。　 (3) 取り出した2枚を$\{a,b\}$（$a\ne b$）とし、対応$\{a,b\}\mapsto\{2n+1-a,\,2n+1-b\}$を考える。この対応はカードの組合せ全体を自分自身へ移す1対1対応であり、和$s=a+b$は$4n+2-s$に移る。したがって、和が$2n+1$より大きい組合せと、$2n+1$より小さい組合せは同数である。和がちょうど$2n+1$となる組合せは $$\{1,2n\},\{2,2n-1\},\ldots,\{n,n+1\}$$ の$n$通りである。全組合せ数は$\displaystyle \binom{2n}{2}=n(2n-1)$だから、和が$2n+1$以上となる組合せ数は $$\displaystyle \frac{\binom{2n}{2}+n}{2}=n^2.$$ よって求める確率は $$\displaystyle \frac{n^2}{\binom{2n}{2}}=\frac{n}{2n-1}.$$ 以上。