4神戸大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 差ベクトルの長さより $$AB^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|^2 =|\overrightarrow{OB}|^2+|\overrightarrow{OA}|^2 -2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =25+13-2=36.$$ したがって $AB=6$。

(2) $u=\overrightarrow{AB}$, $v=\overrightarrow{AC}$ とおく。与条件から $$u\cdot u=v\cdot v=36,\qquad u\cdot v=-11-1-1+13=0,$$ $$\overrightarrow{OA}\cdot u=1-13=-12,\qquad \overrightarrow{OA}\cdot v=1-13=-12.$$ $OH\perp u,v$ であり $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+su+tv$ なので、 $$0=\overrightarrow{OH}\cdot u=-12+36s,\qquad 0=\overrightarrow{OH}\cdot v=-12+36t.$$ よって $\displaystyle s=t=\frac13$。

(3) したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OH} =\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}.$$ また $\overrightarrow{OH}\perp u,v$ より $$\displaystyle OH^2=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OH} =\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OA} =\frac{13+1+1}{3}=5.$$ 従って高さは $OH=\sqrt5$。さらに $u\perp v$ かつ $AB=AC=6$ だから $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot6\cdot6=18.$$ ゆえに $$\displaystyle V_{OABC}=\frac13[ABC]\cdot OH =\frac13\cdot18\sqrt5=6\sqrt5.$$

内積から辺ベクトルAB, ACの長さと直交性を得る。垂線OHの内積条件でs=t=1/3となり、高さの二乗は5。直角三角形ABCの面積18を底面にすると体積は6√5。