4名古屋市立大学 2015年 数学 第4問解答・解説

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}$ かつ $\overrightarrow{OC}\perp\overrightarrow{CB}$ である。

(1) 与えられた内積より $$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}=c_1^2+c_2^2.$$ 直交条件から左辺は $|\overrightarrow{OC}|^2$ に等しい。一方 $$|\overrightarrow{OC}|^2=c_1^2+c_2^2+2c_1c_2\cos\theta.$$ $c_1c_2\ne0$ より $\cos\theta=0$。範囲から $\theta=\pi/2$。

(2) $\theta=\pi/2$ なので $\overrightarrow{OC}=c_1\overrightarrow{OA_1}+c_2\overrightarrow{OA_2}$ の二成分は直交し、 $$|\overrightarrow{OC}|^2=c_1^2+c_2^2.$$ また $$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OA_1} =\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA_1} -\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA_1}=c_1-c_1=0$$ であり、同様に $\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{OA_2}=0$。従って $\overrightarrow{CB}$ は平面 $H$ に垂直である。点 $B$ は平面 $H$ 上になく、点 $C$ は平面 $H$ 上にあることより $\overrightarrow{CB}\ne0$。直角三角形 $OCB$ から $$|\overrightarrow{OB}|^2=|\overrightarrow{OC}|^2+|\overrightarrow{CB}|^2>c_1^2+c_2^2.$$

(3)(4) $\overrightarrow{OA_1},\overrightarrow{OA_2}$ を第1、第2座標軸、$H$ に垂直な単位方向を第3軸とする。$\overrightarrow{OB}$ の第3成分を $t$ とすれば $$D_1=(c,0,0),\quad D_2=(0,c,0),\quad C=(c,c,0),\quad B=(c,c,t), \quad t^2=b^2-2c^2>0.$$ 三角形 $D_1D_2C$ は直角二等辺三角形で面積は $c^2/2$、高さは $|t|$。よって $$\displaystyle V=\frac13\cdot\frac{c^2}{2}|t| =\frac{c^2\sqrt{b^2-2c^2}}6.$$

平面 $D_1D_2B$ の法線方向に $(t,t,-c)$ をとると、同平面の方程式は $$tX+tY-cZ=tc.$$ 点 $C=(c,c,0)$ からこの平面への距離は、点平面距離の公式から $$\displaystyle CT=\frac{|2ct-tc|}{\sqrt{2t^2+c^2}} =\frac{|ct|}{\sqrt{2t^2+c^2}} =\frac{|c|\sqrt{b^2-2c^2}}{\sqrt{2b^2-3c^2}}.$$

直交分解でまず角とOBの下限を決め、OA1・OA2を直交座標軸にして立体を座標で表す。体積は三角形D1D2Cを底面とする錐、CTは平面D1D2Bの法線ベクトルと点平面距離で計算する。