2名古屋市立大学 2015年 数学 第2問解答・解説

被積分関数の中身を $$\displaystyle 2\cos^2 t+2\sin t\cos t-1=\cos 2t+\sin 2t=\sqrt{2}\sin\left(2t+\frac{\pi}{4}\right)$$ と変形する。ここで $\displaystyle u=2t+\frac{\pi}{4}$ とおくと、$\displaystyle dt=\frac12du$ である。$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ のとき、$u$ の積分区間は $\displaystyle \frac{5\pi}{4}\le u\le\frac{7\pi}{4}$ で、この範囲では $\sin u\le0$ だから、 $$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{5\pi/4}^{7\pi/4}(-\sin u)\,du =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{7\pi}{4}-\cos\frac{5\pi}{4}\right)=1.$$ 次に、一般の $x$ について $\displaystyle \alpha=2x+\frac{\pi}{4}$ とおけば、 $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\alpha}^{\alpha+\pi/2}|\sin u|\,du.$$ $\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{2}$ より $\displaystyle \frac{\pi}{4}\le\alpha\le\frac{5\pi}{4}$ であり、積分区間が符号の変わる $u=\pi$ をまたぐのは $\displaystyle \frac{\pi}{8}\le x\le\frac{3\pi}{8}$ のときである。$\displaystyle 0\le x\le\frac{\pi}{8}$ では $\sin u\ge0$ なので、 $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\alpha}^{\alpha+\pi/2}\sin u\,du =\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\sqrt{2}}=\cos 2x.$$ $\displaystyle \frac{\pi}{8}\le x\le\frac{3\pi}{8}$ では $u=\pi$ で分けて、 $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\int_{\alpha}^{\pi}\sin u\,du+\int_{\pi}^{\alpha+\pi/2}(-\sin u)\,du\right) =\frac{2+\cos\alpha-\sin\alpha}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}-\sin 2x.$$ $\displaystyle \frac{3\pi}{8}\le x\le\frac{\pi}{2}$ では $\sin u\le0$ なので、 $$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\alpha}^{\alpha+\pi/2}(-\sin u)\,du =\frac{-\sin\alpha-\cos\alpha}{\sqrt{2}}=-\cos 2x.$$ 各区間の端点で隣り合う式の値は一致する。よって、 $$\displaystyle f(x)= \begin{cases} \cos 2x & (0\le x\le \frac{\pi}{8}),\\ \sqrt{2}-\sin 2x & (\frac{\pi}{8}\le x\le \frac{3\pi}{8}),\\ -\cos 2x & (\frac{3\pi}{8}\le x\le \frac{\pi}{2}). \end{cases}$$ 最後に最大値と最小値を調べる。第1区間では $\cos 2x$ は $1$ から $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ まで減少し、第3区間では $-\cos 2x$ は $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ から $1$ まで増加する。第2区間では $\sin 2x$ は $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$ で最大値 $1$ をとり、両端で $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。したがって、$f(x)$ の最大値は $1$ で、$\displaystyle x=0,\frac{\pi}{2}$ のときにとる。最小値は $\sqrt{2}-1$ で、$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$ のときにとる。