3岐阜大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1) $0\le x\le\pi$ では $0\le x/2\le x\le\pi$ であり、$\cos x$ はこの範囲で減少する。したがって $$\cos(x/2)\ge\cos x,$$ 等号は $x=0$ のときだけである。$x=\pi$ では $\cos(x/2)=0,\ \cos x=-1$ であるから、求める領域は $$0\le x\le\pi,\qquad \cos x\le y\le\cos(x/2)$$ である。曲線と直線 $x=\pi$ および斜線部を図に示す。

(2) $0\le x\le\pi/2$ では両曲線は $x$ 軸以上にあるので、回転断面は外半径 $\cos(x/2)$、内半径 $\cos x$ の円環である。

$\pi/2\le x\le\pi$ では $\cos x\le0\le\cos(x/2)$ で、領域は $x$ 軸をまたぐ。このとき断面は円板であり、その半径は $\cos(x/2)$ と $-\cos x$ の大きい方である。両者が等しい点は $$\cos(x/2)=-\cos x=\cos(\pi-x)$$ を満たす。$x/2$ と $\pi-x$ はともに $0$ 以上 $\pi$ 以下の範囲にあり、$\cos$ はそこで減少するので、等式は $x/2=\pi-x$、すなわち $x=2\pi/3$ のときに限る。$\pi/2\le x\le2\pi/3$ では $\cos(x/2)\ge-\cos x$、$2\pi/3\le x\le\pi$ では $-\cos x\ge\cos(x/2)$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V=\pi\Bigg(&\int_0^{\pi/2}\left(\cos^2\frac{x}{2}-\cos^2x\right)\,dx +\int_{\pi/2}^{2\pi/3}\cos^2\frac{x}{2}\,dx +\int_{2\pi/3}^{\pi}\cos^2x\,dx\Bigg). \end{aligned}$$

$$\displaystyle \int\cos^2\frac{x}{2}\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin x}{2},\qquad \int\cos^2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}.$$ よって三つの積分は順に $$\displaystyle \frac12,\qquad \frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{4}-\frac12, \qquad \frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}$$ となる。したがって $$\displaystyle V=\pi\left(\frac12+\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{4}-\frac12+\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\right) =\boxed{\frac{\pi^2}{4}+\frac{3\sqrt3\,\pi}{8}}.$$