2岐阜大学 2003年 数学 第2問解答・解説

$a_k=a+(k-1)b$ とおくと、$a_{k+1}=a_k+b$、$a_{k+2}=a_k+2b$ である。

(1)　 $$\displaystyle \frac1{a_k a_{k+1}}=\frac1b\left(\frac1{a_k}-\frac1{a_{k+1}}\right)$$ だから、和をとると中間の項が打ち消し合う。よって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{a_k a_{k+1}}=\frac1b\left(\frac1{a_1}-\frac1{a_{n+1}}\right)=\frac1b\left(\frac1a-\frac1{a+nb}\right)=\frac{n}{a(a+nb)}.$$

(2)　 $$\displaystyle \frac1{a_k a_{k+1}}-\frac1{a_{k+1}a_{k+2}}=\frac{a_{k+2}-a_k}{a_k a_{k+1}a_{k+2}}=\frac{2b}{a_k a_{k+1}a_{k+2}}.$$ これを $k=1$ から $n$ まで加えると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac1{a_k a_{k+1}a_{k+2}}=\frac1{2b}\left(\frac1{a_1a_2}-\frac1{a_{n+1}a_{n+2}}\right) =\frac{n\{2a+(n+1)b\}}{2a(a+b)(a+nb)(a+(n+1)b)}.$$ 最後の等号では、分子を通分して $n b\{2a+(n+1)b\}$ とした。

(3)　 (2)の差の形に $k$ を掛けて加えると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k}{a_k a_{k+1}a_{k+2}}=\frac1{2b}\sum\limits _{k=1}^{n}k\left(\frac1{a_k a_{k+1}}-\frac1{a_{k+1}a_{k+2}}\right).$$ 右辺の括弧内をずらして並べると、各中間項の係数差は $1$ になり、最後の項だけ係数 $n$ が残る。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}k(T_k-T_{k+1})=\sum\limits _{k=1}^{n}T_k-nT_{n+1},\qquad T_k=\frac1{a_k a_{k+1}}.$$ (1)を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k}{a_k a_{k+1}a_{k+2}} &=\frac1{2b}\left(\frac{n}{a(a+nb)}-\frac{n}{(a+nb)(a+(n+1)b)}\right)\\ &=\frac{n(n+1)}{2a(a+nb)(a+(n+1)b)}. \end{aligned}$$