4筑波大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(1)　 漸化式の両辺に$(n+1)(n+2)$を掛けると $$(n+1)(n+2)(n+3)a_{n+1}-n(n+1)(n+2)a_n=1,$$ すなわち$b_{n+1}-b_n=1$。また$b_1=1\cdot2\cdot3\cdot a_1=6$なので、$\{b_n\}$は初項6、公差1の等差数列であり $$b_n=n+5.$$

(2)　 左辺を$n$について整理すると $$(p+q+r)n^2+(3p+2q+r)n+2p.$$ これが$n+5$に等しいから、係数比較により $$p+q+r=0,\qquad 3p+2q+r=1,\qquad 2p=5.$$ よって $$\displaystyle p=\frac52,\qquad q=-4,\qquad r=\frac32.$$

(3)　 (2)の等式を$k(k+1)(k+2)$で割ると $$\displaystyle a_k=\frac{b_k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{5}{2k}-\frac4{k+1}+\frac{3}{2(k+2)}.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^n a_k &=\frac52H_n-4(H_{n+1}-1)+\frac32\left(H_{n+2}-\frac32\right)\\ &=\frac74-\frac{5}{2(n+1)}+\frac{3}{2(n+2)}\\ &=\frac{n(7n+17)}{4(n+1)(n+2)}, \end{aligned}$$ ただし$\displaystyle H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$とした。