9東邦大学 2014年 数学 第9問解答・解説

$a_1\ne0$ である。$a_n\ne0$ なら漸化式を変形すると $$\{5-(2n-1)a_n\}a_{n+1}=5a_n,$$ よって左辺の係数は0でなく、$a_{n+1}\ne0$。従ってすべての項は0でない。元の式を $5a_na_{n+1}$ で割ると $$\displaystyle \frac1{a_{n+1}}=\frac1{a_n}-\frac{2n-1}{5}.$$ これを順に足し、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}(2k-1)=(n-1)^2$ を用いると $$\displaystyle \frac1{a_n}=2014-\frac{(n-1)^2}{5}.$$ $100^2=10000<10070<10201=101^2$ なので右辺は0にならない。$a_n$ とその逆数は同符号である。$n-1\le100$ なら逆数は正であり、$n-1=101$ では $$\displaystyle \frac1{a_{102}}=2014-\frac{10201}{5}=-\frac{131}{5}<0.$$ 従って $a_n<0$ となる最小の自然数は $102$。