東邦大学 2014年数学第10問解答・解説

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1問題

東邦大学2014年度第10問

空間内に2つの球があり，球面の方程式はそれぞれ， $(x-1)^2+(y-1)^2+z^2=3,\quad x^2+y^2+(z-1)^2=3$ で与えられる。2つの球の共通部分の体積は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}{\boxed{\text{フ}}}\pi$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

共通部分を中点の平面で等しい球冠2個に分け、球冠を断面積の定積分で求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \dfrac{5\sqrt3}{4}\pi$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

球の中心は $A=(1,1,0)$ 、 $B=(0,0,1)$ 、半径はどちらも $R=\sqrt3$ である。中心間距離は $AB=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt3.$ 2球の共通部分を中心を結ぶ直線に垂直な中点の平面で分けると、半径 $R$ の球冠2個となる。各球冠の高さは $\displaystyle h=R-\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$ 球冠の頂点から距離 $u$ の位置の断面円の半径の2乗は $R^2-(R-u)^2=2Ru-u^2$ だから、その体積は $\displaystyle \pi\int_0^h(2Ru-u^2)\,du=\pi h^2\left(R-\frac h3\right).$ 従って共通部分の体積は $\displaystyle 2\pi\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\left(\sqrt3-\frac{\sqrt3}{6}\right)=\frac{5\sqrt3}{4}\pi.$

この問題で使う考え方

空間図形の計量
不定積分・定積分の性質
定積分による体積

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