3山口大学 2015年 数学 第3問解答・解説

鉄の球は容器の底に接し、水面は球の最上点に接している。したがって、水面の高さは底から $2r$ cm である。容器の深さは $3$ cm で、水がこぼれないから $0<r\le 3/2$ である。　 球冠体積の公式を高校数学の積分で導く。半径 $R$ の球について、最下点から上向きに $u$ cm の位置で水平に切った断面の円の半径を $\rho$ cm とすると、球の中心から断面までの距離は $R-u$ cm だから $$\rho^2=R^2-(R-u)^2=2Ru-u^2.$$ よって、底から高さ $h$ cm までの球冠の体積は、断面積を積分して $$\displaystyle V=\int_0^h \pi\rho^2\,du=\pi\int_0^h(2Ru-u^2)\,du=\pi\left[Ru^2-\frac{u^3}{3}\right]_0^h=\pi h^2\left(R-\frac h3\right).$$ ここで容器の半径 $R=3$、水面の高さ $h=2r$ である。水面より下の容器部分はこの球冠にあたり、その体積は残った水 $8\pi$ と水面下にある鉄の球全体 $\displaystyle \frac43\pi r^3$ の体積の和に等しい。したがって $$\displaystyle 8\pi+\frac{4}{3}\pi r^3=\pi(2r)^2\left(3-\frac{2r}{3}\right).$$ よって $$r^3-3r^2+2=0,\qquad (r-1)(r^2-2r-2)=0.$$ 根は $1,1+\sqrt3,1-\sqrt3$ である。条件 $0<r\le3/2$ を満たすのは $r=1$ だけである。