問1 E=(1,0,0) とおく。P=E+u, Q=−E+v と書けば ∣u∣,∣v∣≦2 で、X=u+v である。三角不等式から ∣X∣≦4。逆に ∣X∣≦4 の任意の X に対し u=v=X/2 と選べる。したがって X の範囲は原点中心、半径 4 の球であり、体積は V1=34π⋅43=3256π.
問2 S=P+Q は問1により ∣S∣≦4 の球全体を動く。(R+S)/3∈K1 は ∣R+S−3E∣≦6 と同値である。∣S∣≦4 のとき左辺の最大値は ∣R−3E∣+4 だから、すべての S に対する条件は ∣R−3E∣+4≦6すなわち∣R−3E∣≦2. よって R の範囲は中心 3E、半径 2 の球であり、 V2=34π⋅23=332π.
問3 条件は R を中心とする半径 4 の球が U=B(3E,6)∪B(−3E,6) に含まれることと同値である。左右対称性と x 軸のまわりの回転対称性により、R=(t,ρ,0)、t≧0,ρ≧0 として断面を調べる。R を中心とする球の x 座標一定の断面は、∣x−t∣≦4 のとき軸から距離 ρ の点を中心とする半径 gt(x)=16−(x−t)2 の円板である。U の同じ断面は軸を中心とする半径 f(x)=36−(∣x∣−3)2(∣x∣≦9) の円板である。二つの球の断面は同心円板だから、その和集合もこの円板となる。従って包含条件は、t−4≦x≦t+4 を満たすすべての x に対し ρ+gt(x)≦f(x) となることである。t>5 なら右端 t+4>9 が U から外れるので不可能である。
0≦t≦5 とし、x≧0 では c=3、x≦0 では c=−3 とおいて、各側の断面半径差を Fc(x)=36−(x−c)2−16−(x−t)2 と書く。根号が正の区間で微分すると Fc′(x)=16−(x−t)2x−t−36−(x−c)2x−c. H(u)=u/1−u2 は −1<u<1 で単調増加するから、Fc′(x) の符号は 4x−t−6x−c=12x−3t+2c の符号に等しい。端点での値は連続性で比較できる。
負側 x≦0 では c=−3 なので x−3t−6<0 であり、F−3 は右へ行くほど小さくなる。負側が存在する t≦4 では、その最小値は x=0 で F−3(0)=33−16−t2 である。正側では c=3 である。0≦t≦2 なら x−3t+6≧0 だから F3 は増加し、正側の最小も x=0 にある。一方 2≦t≦5 なら x0=3t−6 は max(0,t−4)≦x0≦t+4 を満たし、F3 は x0 まで減少し、その後増加する。t≦4 で負側が存在しても、その最小値 F−3(0)=F3(0) は F3(x0) 以上である。従って全断面で最も厳しい値は ρmax(t)=⎩⎨⎧F3(0)=33−16−t2,F3(3t−6)=4−(t−3)2,0≦t≦2,2≦t≦5. 後者の等式は 3t−6−3=3(t−3)、3t−6−t=2(t−3) を各根号に代入して得られる。両式は t=2 で一致し、いずれも指定区間で非負である。負の x 座標を持つ R についても左右対称で同じ半径となる。
従って求める体積は V3=2π{∫02(33−16−t2)2dt+∫25(4−(t−3)2)dt}. 半径 4 の円の扇形と直角三角形の面積から ∫0216−t2dt=34π+23. これを用いると ∫02(33−16−t2)2dt=3142−83π,∫25(4−(t−3)2)dt=9. よって V3=2π(3169−83π)=3338π−163π2.
