II日本医科大学 2012年 数学 第II問解答・解説

問1　 点 $A_k$ の偏角を $\phi_k=-\alpha/2+k\alpha$ とする。加法定理より $$\displaystyle \overrightarrow{A_kA_{k+1}}=(\cos(\phi_k+\alpha)-\cos\phi_k,\ \sin(\phi_k+\alpha)-\sin\phi_k) =2\sin\frac\alpha2\,(-\sin k\alpha,\ \cos k\alpha).$$ $0<\alpha<\pi$ なので $r=2\sin(\alpha/2)>0$。成分の向きから $$\displaystyle \theta_k\equiv\frac\pi2+k\alpha\pmod{2\pi},$$ したがって $\theta_0\equiv\pi/2,\ \theta_1\equiv\pi/2+\alpha,\ \theta_2\equiv\pi/2+2\alpha\pmod{2\pi}$。

問2　 与えられたベクトルの和の $x,y$ 成分を比較する。$A_0=(\cos(\alpha/2),-\sin(\alpha/2))$、$A_{n+1}=(\cos((n+1/2)\alpha),\sin((n+1/2)\alpha))$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=0}^{n}\sin k\alpha&=\frac{\cos(\alpha/2)-\cos((n+1/2)\alpha)}{2\sin(\alpha/2)},\\ \sum\limits _{k=0}^{n}\cos k\alpha&=\frac{\sin((n+1/2)\alpha)+\sin(\alpha/2)}{2\sin(\alpha/2)}. \end{aligned}$$ 和積公式を用いて整理すると $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}\cos k\alpha=\frac{\sin((n+1)\alpha/2)\cos(n\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)},\qquad \sum\limits _{k=0}^{n}\sin k\alpha=\frac{\sin((n+1)\alpha/2)\sin(n\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}.$$

問3　 $2\sin k\alpha\cos k\alpha=\sin(2k\alpha)$ であり、問2の正弦和に $2\alpha$ を代入すると $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}\cos k\alpha\sin k\alpha =\frac12\sum\limits _{k=0}^{n}\sin(2k\alpha) =\frac{\sin((n+1)\alpha)\sin(n\alpha)}{2\sin\alpha}.$$ 分母は $0<\alpha<\pi$ より $\sin\alpha>0$ である。

問4　 各項を倍角公式で変形すると $$\displaystyle (\alpha\cos k\alpha+\sin k\alpha)^2 =\frac{\alpha^2+1}{2}+\frac{\alpha^2-1}{2}\cos(2k\alpha)+\alpha\sin(2k\alpha).$$ 問2の和の公式を $2\alpha$ に適用すれば $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}\cos(2k\alpha)=\frac{\sin((n+1)\alpha)\cos(n\alpha)}{\sin\alpha},\qquad \sum\limits _{k=0}^{n}\sin(2k\alpha)=\frac{\sin((n+1)\alpha)\sin(n\alpha)}{\sin\alpha}.$$ これらは $n$ によらず絶対値が $1/\sin\alpha$ 以下である。よって、元の和を $n$ で割ったとき倍角の項は $0$ に収束し、定数項は $(n+1)/n$ 倍されるから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=0}^{n}(\alpha\cos k\alpha+\sin k\alpha)^2=\frac{\alpha^2+1}{2}.$$