9弘前大学 2011年 数学 第9問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(1) }\quad A\binom{1}{1}&=\binom{a+b}{c+d},\qquad A\binom{-1}{1}=\binom{-a+b}{-c+d},\\ a+b&=\frac1{\sqrt2},\quad -a+b=-\sqrt{\frac32},\quad c+d=\sqrt{\frac32},\quad -c+d=\frac1{\sqrt2},\\ a&=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2},\quad b=\frac{1-\sqrt3}{2\sqrt2},\quad c=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2},\quad d=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2},\\ A&=\frac1{2\sqrt2}\begin{pmatrix}1+\sqrt3&1-\sqrt3\\ \sqrt3-1&1+\sqrt3\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

$$\displaystyle \cos15^\circ=\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2},\qquad \sin15^\circ=\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2},\qquad A\binom{x}{y}=\binom{x\cos15^\circ-y\sin15^\circ}{x\sin15^\circ+y\cos15^\circ}.$$ これは原点中心の反時計回り15°回転である。2回合成し、二倍角の公式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} A^2\binom{x}{y} &=\binom{x(\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ)-2y\sin15^\circ\cos15^\circ} {2x\sin15^\circ\cos15^\circ+y(\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ)}\\ &=\binom{x\cos30^\circ-y\sin30^\circ}{x\sin30^\circ+y\cos30^\circ},\\ A^2&=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\\ \frac12&\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \text{(2) }\quad&A^3\text{ は反時計回り45°回転、}A^{-1}\text{ は時計回り15°回転である。}\\ &P\ne O\text{ なので、回転によって }OQ=OP=OR,\\ &\angle QOR=45^\circ-(-15^\circ)=60^\circ.\\ &\text{したがって }\triangle OQR\text{ は頂角 }60^\circ\text{ の二等辺三角形で、底角も各 }60^\circ\text{。}\\ &\therefore\triangle OQR\text{ は正三角形である。} \end{aligned}$$

$$\displaystyle \begin{aligned} \text{(3) }\quad&OP=OQ,\qquad \angle POQ=45^\circ,\\ &\angle OPQ=\frac{180^\circ-45^\circ}{2}=\frac{135}{2}^\circ=67.5^\circ. \end{aligned}$$