2北海道大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) 直線 y=x は x 軸となす角が 45^$\circ$ である。反射では方向角 $\varphi$ は $90^\circ-\varphi$ に移るので、座標は $(x,y)\mapsto(y,x)$ となる。したがって $$F=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$ 原点を中心とする 120^$\circ$ の回転の行列は $$\displaystyle H=\begin{pmatrix}\cos120^\circ&-\sin120^\circ\\\sin120^\circ&\cos120^\circ\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\end{pmatrix}.$$

(2) $\tan\theta=c$ とし、直線 $y=cx$ が x 軸となす角を $\theta$ とする。方向角 $\varphi$ のベクトルをこの直線で反射すると方向角は $2\theta-\varphi$ になる。特に x 軸方向、y 軸方向の単位ベクトルの像を列に並べると、 $$G=\begin{pmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&-\cos2\theta\end{pmatrix}.$$ 二倍角の公式と $\tan\theta=c$ より、 $$\displaystyle \cos2\theta=\frac{1-c^2}{1+c^2},\qquad \sin2\theta=\frac{2c}{1+c^2},$$ したがって $$\displaystyle G=\frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix}1-c^2&2c\\2c&c^2-1\end{pmatrix}.$$

(3) $g$ の後に $f$ を行うと、方向角は $$\varphi\longmapsto 2\theta-\varphi\longmapsto 90^\circ-(2\theta-\varphi)=\varphi+(90^\circ-2\theta)$$ となる。よって合成変換は回転角 $90^\circ-2\theta$ の回転であり、これが 120^$\circ$ となる条件は $\theta\equiv-15^\circ\pmod{180^\circ}$ である。直線の傾きは $c=\tan\theta$ だから、 $$\displaystyle c=\tan(-15^\circ)=-\tan(45^\circ-30^\circ)=-\frac{1-1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3}=\sqrt3-2.$$