4広島大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) $\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB},\ \vec c=\overrightarrow{OC}$、$x=\cos\theta,\ y=\sin\theta$ とおく。$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$ であり、条件から $\vec c=-(x\vec a+y\vec b)$ である。したがって $$1=|\vec c|^2=|x\vec a+y\vec b|^2=x^2+y^2+2xy\vec a\cdot\vec b=1+2xy\vec a\cdot\vec b.$$ ここで $x y=\cos\theta\sin\theta>0$ だから、$\vec a\cdot\vec b=0$。よって $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$ である。

(2) $\vec a\cdot\vec b=0$ より $$|\overrightarrow{CA}|^2=|\vec a-\vec c|^2=|(1+x)\vec a+y\vec b|^2=(1+x)^2+y^2=2+2\cos\theta,$$ $$|\overrightarrow{CB}|^2=|\vec b-\vec c|^2=|x\vec a+(1+y)\vec b|^2=x^2+(1+y)^2=2+2\sin\theta.$$ また $0<\theta<\pi/2$ なので $\cos(\theta/2)>0$、$\cos(\pi/4-\theta/2)>0$ である。半角の関係から $$\displaystyle |\overrightarrow{CA}|=\sqrt{2+2\cos\theta}=2\cos\frac{\theta}{2},\qquad |\overrightarrow{CB}|=\sqrt{2+2\sin\theta}=2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right).$$

(3) $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$ および $|\vec a|=|\vec b|=1$ より $AB=|\vec b-\vec a|=\sqrt2$。ここで $u=\theta/2$ とおくと $0<u<\pi/4$ であり、周の長さ $P$ は $$\displaystyle P=\sqrt2+2\cos u+2\cos\left(\frac{\pi}{4}-u\right) =\sqrt2+4\cos\frac{\pi}{8}\cos\left(u-\frac{\pi}{8}\right).$$ 最後の等式は余弦の和の公式による。$-\pi/8<u-\pi/8<\pi/8$ だから $\cos(u-\pi/8)\leq 1$ であり、等号は $u=\pi/8$ のときに限る。この値は許された範囲にあるので、周の長さが最大となるのは $\theta=2u=\pi/4$ である。最大値は $\sqrt2+4\cos(\pi/8)=\sqrt2+2\sqrt{2+\sqrt2}$。