1山口大学 2015年 数学 第1問解答・解説

曲線の方程式を平方完成すると $$2x^2+(y-2)^2=4$$ である。したがって $0\le y\le4$ であり、 $$\displaystyle x^2=\frac{y(4-y)}2$$ となる。よって $$\displaystyle (xy)^2=x^2y^2=\frac{y^3(4-y)}2.$$ ここで $$27-y^3(4-y)=y^4-4y^3+27=(y-3)^2(y^2+2y+3)\ge0,$$ ただし $y^2+2y+3=(y+1)^2+2>0$ である。したがって $$\displaystyle |xy|\le\sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3\sqrt6}{2}.$$ 等号は $y=3$ のときに成立し、このとき曲線上では $\displaystyle x^2=\frac32$、すなわち $\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac32}$ である。したがって $\displaystyle xy=\pm\frac{3\sqrt6}{2}$ が実現し、最大値は $\displaystyle \frac{3\sqrt6}{2}$、最小値は $\displaystyle -\frac{3\sqrt6}{2}$ である。