13東邦大学 2014年 数学 第13問解答・解説

与式の左辺を $F(x)$ とする。整理すると $$F(x)=(a-1)\{(a-2)(x^4+3)+2x\}.$$ $b=a-2$ とおくと $F(x)=(b+1)\{b(x^4+3)+2x\}$。$b=-1$ なら常に0、$b=0$ なら $F(x)=2x$ となり、どちらも条件を満たさない。$-1<b<0$ では最高次の係数 $b(b+1)<0$ だから、$|x|$ を十分大きくすると $F(x)<0$。従って残る可能性は $b>0$ または $b<-1$。

$b>0$ のとき $b+1>0$ なので、$G(x)=b(x^4+3)+2x$ がすべての $x$ で正であることが必要十分である。$x\ge0$ なら $b(x^4+3)>0$、$2x\ge0$ より正。$x<0$ では $t=-x>0$ とおき、相加相乗平均から $t^4+3\ge4t$ より $$G(x)=b(t^4+3)-2t\ge(4b-2)t.$$ 従って $b>1/2$ なら全ての $x<0$ で正である。一方 $0<b\le1/2$ では $x=-1$ とすると $G(-1)=4b-2\le0$ となる。よってこの場合は $b>1/2$、すなわち $a>5/2$。

$b<-1$ のとき $b+1<0$ であるため、$G(x)=b(x^4+3)+2x$ が常に負ならよい。$x\le0$ では両項が負（$x=0$ でも第1項が負）。$x>0$ では $x^4+3\ge4x$ より $$G(x)\le(4b+2)x<0$$ である。従ってこの場合はすべて条件を満たし、$a=b+2<1$。 以上より $a<1$ または $a>5/2$。