5千葉大学 2014年 数学 第5問解答・解説

(1) 各試行で赤玉を取り出す確率は $3/10$、白玉を取り出す確率は $7/10$ である。赤玉が出る $A$ 回の位置の選び方は $\displaystyle \binom{N}{A}$ 通りであり、各列の確率は $(3/10)^A(7/10)^{N-A}$ だから、$$\displaystyle p(N,A)=\binom{N}{A}\left(\frac{3}{10}\right)^A\left(\frac{7}{10}\right)^{N-A}.$$

(2)(i) $a\le b$ のとき、空積を $1$ とすれば $\displaystyle \frac{b!}{a!}=(a+1)(a+2)\cdots b\le b^{b-a}$ である。$a>b$ のときは $\displaystyle \frac{b!}{a!}=\frac{1}{(b+1)(b+2)\cdots a}\le\frac{1}{b^{a-b}}=b^{b-a}$ である。よってすべての $a\ge0$ と自然数 $b$ について成り立つ。

(2)(ii) $P_m=p(10n,m)$ とおくと、$$\displaystyle \frac{P_m}{P_{3n}}=\frac{(3n)!(7n)!}{m!(10n-m)!}\left(\frac{3}{7}\right)^{m-3n}.$$ $m\le3n$ のとき $k=3n-m\ge0$ とおけば、$$\displaystyle \frac{P_m}{P_{3n}}=\frac{(3n)!}{(3n-k)!}\frac{(7n)!}{(7n+k)!}\left(\frac{7}{3}\right)^k\le (3n)^k(7n)^{-k}\left(\frac{7}{3}\right)^k=1,$$ ここで(i)を $(a,b)=(3n-k,3n)$ および $(7n+k,7n)$ に適用した。$m\ge3n$ のとき $k=m-3n\ge0$ とおけば、$$\displaystyle \frac{P_m}{P_{3n}}=\frac{(3n)!}{(3n+k)!}\frac{(7n)!}{(7n-k)!}\left(\frac{3}{7}\right)^k\le (3n)^{-k}(7n)^k\left(\frac{3}{7}\right)^k=1,$$ ここで(i)を $(a,b)=(3n+k,3n)$ および $(7n-k,7n)$ に適用した。従って $0\le m\le10n$ のすべてについて $p(10n,m)\le p(10n,3n)$ である。