6千葉大学 2014年 数学 第6問解答・解説

c=cosθ、s=sinθとおくと、0<θ<π/2よりc,s>0、かつc²+s²=1。円の半径(c,s)は接線に垂直であるから、接点(c,s)での接線は $$c(x-c)+s(y-s)=0,\qquad\text{すなわち }cx+sy=1.$$ また(c+s)²=1+2cs>1なのでc+s>1。接線と正方形の上辺y=1との交点をU、右辺x=1との交点をVとすると $$\displaystyle U=\left(\frac{1-s}{c},1\right),\qquad V=\left(1,\frac{1-c}{s}\right).$$ c+s>1からU,Vはそれぞれ上辺・右辺の線分上にある。両辺の交点をK=(1,1)とおけば、直角三角形KUVの脚の長さは $$\displaystyle KU=1-\frac{1-s}{c}=\frac{c+s-1}{c},\qquad KV=1-\frac{1-c}{s}=\frac{c+s-1}{s}.$$ 斜辺UVは三平方の定理から $$\displaystyle UV=\sqrt{KU^2+KV^2} =(c+s-1)\sqrt{\frac1{c^2}+\frac1{s^2}} =\frac{c+s-1}{cs},$$ 最後はc²+s²=1とc,s>0を使った。よって三辺の和は $$\displaystyle KU+KV+UV =(c+s-1)\left(\frac1c+\frac1s+\frac1{cs}\right) =\frac{(c+s-1)(c+s+1)}{cs} =\frac{(c+s)^2-1}{cs}=2.$$ したがって周長はθによらず一定である。

面積をSとすると、Kで直角に交わる2辺を使って $$\displaystyle S=\frac12 KU\cdot KV=\frac{(c+s-1)^2}{2cs}.$$ q=c+sとおくとq>1かつq²−1=2csなので $$\displaystyle S=\frac{(q-1)^2}{q^2-1}=\frac{q-1}{q+1}.$$ さらに(c−s)²≧0よりq²=(c+s)²≦2(c²+s²)=2、従ってq≦√2。最大値の候補との差を計算すると $$\displaystyle \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}-\frac{q-1}{q+1} =\frac{2(\sqrt2-q)}{(\sqrt2+1)(q+1)}\ge0.$$ よって面積はq=√2のとき最大。その等号条件はc=sであり、0<θ<π/2だからθ=π/4。最大面積は $$\displaystyle \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=3-2\sqrt2.$$