4千葉大学 2014年 数学 第4問解答・解説

Aのカードを引く順序を固定して、順に $1,2,3,4$ としてよい。Bの順序はこれと独立に $4!$ 通りから等確率で選ばれるので、Bの順序を表す順列 $\pi$ を一様に数えればよい。全事象は $4!=24$ 通りであり、同じ位置に同じ番号がある回が引き分けとなる。

$\text{(1)}$ 4回とも引き分けとなるのは $\pi$ が恒等順列の場合だけである。したがって、確率は $$\displaystyle \frac{1}{24}.$$

$\text{(2)}$ 2回引き分けとなるには、$\pi$ がちょうど2個の固定位置をもてばよい。残り2位置のカードは互いに入れ替わり、その2回では一方ずつ勝つ。入れ替える位置の選び方は $\displaystyle \binom{4}{2}=6$ 通りだから、求める確率は $$\displaystyle \frac{\binom{4}{2}}{4!}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.$$

$\text{(3)}$ 番号が異なる位置の数を $r$ とする。これらはすべて勝敗のつく回である。ゲームが引き分けになるには、最後までA、Bのどちらも2勝に達しないので、勝敗のつく回は高々2回、すなわち $r\leq 2$ である。順列で動く位置がちょうど1個になることはないため、引き分けの場合は $r=0$ または $r=2$ である。$r=0$ は恒等順列1通り、$r=2$ は2位置を入れ替える順列 $\displaystyle \binom{4}{2}=6$ 通りである。よって $$\displaystyle P(\text{引き分け})=\frac{1+6}{24}=\frac{7}{24}.$$ AとBは対称であり、ゲームの結果はA勝ち、B勝ち、引き分けのいずれかだから、 $$\displaystyle P(\text{Aが勝つ}) =\frac{1-P(\text{引き分け})}{2} =\frac{1-\frac{7}{24}}{2} =\frac{17}{48}.$$