11千葉大学 2014年 数学 第11問解答・解説

Classification: PASS. This source-based quality supplement reviews adopted answer F017 and comparison answer B017; it is not evidence of a fresh blind independent answer. Their mathematical results agree and require no change.

(1) $f(x)f(1-x)$ の最大・最小 $f(x)=x^x$ より $$g(x)=x^x(1-x)^{1-x}>0,\qquad h(x)=\log g(x)=x\log x+(1-x)\log(1-x)$$ とおくと $$\displaystyle h'(x)=\log\frac{x}{1-x}.$$ したがって $g$ は $1/4\le x\le1/2$ で減少し、$1/2\le x\le3/4$ で増加する。よって $$\displaystyle g(1/2)=\frac12,\qquad g(1/4)=g(3/4)=\left(\frac{27}{256}\right)^{1/4}=\frac{3^{3/4}}4.$$

(2) 比の最小値 すべての $a>0$ に対し、累乗の底はすべて正であるから、比は次のように整理できる。 $$\displaystyle \begin{aligned} R_a(x)&=\frac{x^x(1-x)^{1-x}a^a}{(ax)^{ax}(a(1-x))^{a(1-x)}}\\ &=x^{x(1-a)}(1-x)^{(1-x)(1-a)}=g(x)^{1-a}. \end{aligned}$$ $0<a<1$ なら指数は正なので、$x=1/2$ で最小値 $2^{a-1}$ をとる。$a=1$ なら比は常に1である。$a>1$ なら指数は負なので、$x=1/4,3/4$ で最小値 $$\displaystyle \left(\frac{3^{3/4}}4\right)^{1-a} =\left(\frac4{3^{3/4}}\right)^{a-1}$$ をとる。 F017's first case $0<a\leq1$ includes $a=1$ with value $1$, so it agrees with B017's separate middle case.

Disposition The adopted values are maximum $3^{3/4}/4$, minimum $1/2$ in (1), and $2^{a-1}$ for $0<a\leq1$, $(3^{3/4}/4)^{1-a}$ for $a>1$ in (2). The source, F017, and B017 agree. F017/B017 labels differ in unit scope and method granularity; retain the adopted F017 display tags. No unresolved mathematical issue was found.