13千葉大学 2014年 数学 第13問解答・解説

・ $k=f(n)$ とおくと $2^k\le n<2^{k+1}$ である。$L_n=\operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n)$ とおく。$2^k$ は $1,\ldots,n$ の中に含まれ、$2^{k+1}$ は含まれないから、$L_n=2^k c$（$c$ は正の奇数）と書ける。

$\displaystyle A_n=\sum\limits _{j=1}^n L_n/j$ とおけば $S_n=A_n/L_n$ である。$j=2^k$ の項は $L_n/2^k=c$ で奇数である。一方、$j\ne 2^k$ ならば $j<2^{k+1}$ より $2^k$ は $j$ を割らない。したがって $j$ に含まれる $2$ の因数は $k$ 個未満であり、$j\mid L_n$ だから $L_n/j$ は偶数である（$k=0$ の場合は $j\ne 2^k$ の項はない）。ゆえに $A_n$ は奇数である。したがって $a_n=A_n,\ b_n=c$ とすれば、いずれも正の奇数であり、$S_n=a_n/(2^k b_n)$ を得る。

・ $n\ge2$ ならば $f(n)\ge1$ である。(1)の表示で分子は奇数、分母は偶数だから、$S_n$ は整数ではない。

・ $m<n$ とし、$m\le j\le n$ の範囲で $2^r$ が割り切る整数が存在するような最大の整数 $r$ をとる。連続する二整数のうち少なくとも一つは偶数なので $r\ge1$ である。最大性より、ある $j_0$ は $2^r$ で割り切れ、$2^{r+1}$ では割り切れない。これが唯一であることを示す。もし異なる二つの整数 $j_1<j_2$ がともに $2^r$ で割り切れ、$2^{r+1}$ では割り切れないなら、$j_1=2^r u,\ j_2=2^r v$ と書け、$u,v$ は奇数である。すると $j_1<2^r(u+1)<j_2$ であり、$2^r(u+1)$ は $2^{r+1}$ で割り切れる。これは $r$ の最大性に反する。

$L=\operatorname{lcm}(m,m+1,\ldots,n)$ とおくと、$L=2^r d$（$d$ は正の奇数）である。$\displaystyle A=\sum\limits _{j=m}^n L/j$ は整数であり、$j=j_0$ の項だけが奇数、ほかの項はすべて偶数だから $A$ は奇数である。一方 $r\ge1$ より $L$ は偶数である。したがって $L$ は $A$ を割り切らず、$S_{m,n}=A/L$ は整数ではない。