2千葉大学 2014年 数学 第2問解答・解説

正弦定理より、辺をそれぞれ $a,b,c$ とすると $\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{b}=\frac53$ である。最大角が $B=120^\circ$ なら $\displaystyle \sin A=\frac53\sin120^\circ=\frac{5\sqrt3}{6}>1$ となるため不可能。

最大角が $A=120^\circ$ の場合、$B+C=60^\circ$ かつ $B<60^\circ$ である。よって $\displaystyle \sin B=\frac35\sin120^\circ=\frac{3\sqrt3}{10}$、$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{73}}{10}$。さらに $C=60^\circ-B$ から $\displaystyle \cos C=\frac12\cos B+\frac{\sqrt3}{2}\sin B=\frac{9+\sqrt{73}}{20}$ となる。ここで $\sin B<\sin60^\circ$ なので $0<B<60^\circ$ となり、この場合は実際に成立する。

最大角が $C=120^\circ$ の場合は $A+B=60^\circ$。$a:b=5:3$ と余弦定理から $a=5t,b=3t$ とおくと $c^2=25t^2+9t^2-30t^2\cos120^\circ=49t^2$、したがって $c=7t$。三辺 $5t,3t,7t$ は三角形を作り（$5t+3t>7t$）、この三角形では $\displaystyle \cos C=\frac{25+9-49}{30}=-\frac12$ だから $C=120^\circ$ となる。正弦定理より $\displaystyle \sin A=\frac{5\sqrt3}{14}$、$\displaystyle \sin B=\frac{3\sqrt3}{14}$。$A,B<90^\circ$ なので $\displaystyle \cos A=\frac{11}{14}$、$\displaystyle \cos B=\frac{13}{14}$、また $\displaystyle \cos C=-\frac12$ である。以上の二通りがともに条件を満たすため、条件から答えは一意に定まらない。