東邦大学 2014年数学第5問解答・解説

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1問題

東邦大学2014年度第5問

$a,b,c$ は整数で， $3a-2b-c=3$ および $2a-b-2c=0$ を満たす。このとき， $k$ を整数として， $a+b+c=\boxed{\text{ス}}k+\boxed{\text{セ}}$ と表すことができる。ただし， $\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}}$ は1桁の自然数である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

連立方程式を代入で整理し、整数条件から変数を媒介する整数を定めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ス $=8,\quad$ セ $=7$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

第1式から $c=3a-2b-3$ 。これを第2式に代入すると $2a-b-2(3a-2b-3)=0\quad\text{より}\quad 3b=4a-6.$ 右辺が3の倍数であるためには $a$ が3の倍数でなければならない。 $a=3m$ （ $m$ は整数）とおけば $b=4m-2,\qquad c=3(3m)-2(4m-2)-3=m+1.$ 従って $a+b+c=3m+(4m-2)+(m+1)=8m-1=8(m-1)+7.$ $k=m-1$ も整数だから所定の形では $\text{ス}=8,\ \text{セ}=7$ 。

この問題で使う考え方

約数・倍数

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