2神戸大学 2014年 数学 第2問解答・解説

(1) 定義から $$\begin{aligned} a^2+b^2 &=(n^2-m^2)^2+(2mn)^2\\ &=n^4-2m^2n^2+m^4+4m^2n^2\\ &=n^4+2m^2n^2+m^4=(n^2+m^2)^2=c^2. \end{aligned}$$ (2) $m<n$ より $a,b>0$ であり、(1)から辺 $a,b$ のなす角は直角である。したがって $$\displaystyle S=\frac{ab}{2}=\frac{(n^2-m^2)(2mn)}{2}=mn(n-m)(n+m).$$ 三角形の内心から各辺への距離はいずれも $r$ なので、3つの小三角形の面積の和より $S=r(a+b+c)/2$ である。半周長を $s$ とすると $$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} =\frac{n^2-m^2+2mn+n^2+m^2}{2} =n(n+m).$$ よって $$\displaystyle r=\frac{S}{s} =\frac{mn(n-m)(n+m)}{n(n+m)} =m(n-m).$$ (3) $r=m(n-m)$ が素数で、$m,n-m$ はいずれも正の整数だから、 $$(m,n-m)=(1,r)\quad\text{または}\quad(r,1)$$ である。また $S=rs=rn(n+m)$ である。したがって $$\begin{array}{ll} (m,n-m)=(1,r):&n=r+1,\quad S=r(r+1)(r+2),\\ (m,n-m)=(r,1):&n=r+1,\quad S=r(r+1)(2r+1). \end{array}$$ (4) 1つ目の式では $r,r+1,r+2$ は連続する3整数だから、その積は2と3の両方で割り切れる。2つ目の式では $r,r+1$ の少なくとも一方が偶数である。また、$r$ を3で割った余りが $0,1,2$ のとき、それぞれ $r,2r+1,r+1$ が3の倍数である。したがってこの積も2と3の両方で割り切れ、いずれの場合も $6\mid S$。