4神戸大学 2014年 数学 第4問解答・解説

$1$ から $2n$ までの和は $$\displaystyle 1+2+\cdots+2n=\frac{2n(2n+1)}2=n(2n+1)$$ であるから、$A+B=n(2n+1)$ である。

oindent (1)　 $n$ が奇数なら、$n$ と $2n+1$ はともに奇数なので、$A+B=n(2n+1)$ は奇数である。もし $A=B$ なら $A+B=2A$ は偶数となり矛盾する。よって $A\ne B$ である。

oindent (2)　 $n$ が偶数なら $n(2n+1)$ は偶数である。また、 $$A-B=2A-(A+B)=2A-n(2n+1)$$ は偶数どうしの差だから偶数である。したがって $A$ と $B$ の差 $|A-B|$ も偶数である。

oindent (3)　 $n=4$ のとき、全カードの和は $1+2+\cdots+8=36$ である。したがって $A=B$ となるのは、取り出した4枚の和が $18$ のときである。

oindent 4枚を小さい順に $a<b<c<d$ とする。$a\ge4$ なら和は少なくとも $4+5+6+7=22$ なので、可能なのは $a=1,2,3$ である。さらに、

・ $a=1$ のとき、$b=2,3,4$。$b\ge5$ なら和は少なくとも $1+5+6+7=19$ となる。

・ $a=2$ のとき、$b=3,4$。$b\ge5$ なら和は少なくとも $2+5+6+7=20$ となる。

・ $a=3$ のとき、$b=4$。$b\ge5$ なら和は少なくとも $3+5+6+7=21$ となる。

oindent 各場合に $c+d=18-a-b$ を満たす $c<d$ を調べると、次の8通りである。 $$\begin{array}{c|c|c} (a,b)&c+d&(c,d)\\\hline (1,2)&15&(7,8)\\ (1,3)&14&(6,8)\\ (1,4)&13&(5,8),(6,7)\\ (2,3)&13&(5,8),(6,7)\\ (2,4)&12&(5,7)\\ (3,4)&11&(5,6) \end{array}$$

oindent よって条件を満たす4枚の選び方は8通りである。一方、4枚の選び方は全部で $\displaystyle \binom84=70$ 通りあり、どの選び方も同様に確からしい。したがって求める確率は $\displaystyle \dfrac{8}{70}=\boxed{\dfrac{4}{35}}$ である。