1神戸大学 2014年 数学 第1問解答・解説

・ 接線の傾きは導関数の値だから、 $$f'(x)=(x+1)e^x-2x-a,\qquad f'(0)=1-a=-1.$$ したがって $a=2$。

・ $a=2$ とすると $$f'(x)=(x+1)e^x-2x-2=(x+1)(e^x-2).$$ $e^x$ は増加関数で、$e^x=2$ の解は $x=\ln 2$ である。また $0<\ln 2<1$。よって $$f'(x)>0\ (x<-1),\qquad f'(x)<0\ (-1<x<\ln 2),\qquad f'(x)>0\ (x>\ln 2).$$ したがって $x=-1$ で極大、$x=\ln 2$ で極小となる。 $$\displaystyle f(-1)=1-\frac1e,\qquad f(\ln 2)=2\ln 2-(\ln 2)^2-2\ln 2=-(\ln 2)^2.$$

・ $a=2$ のとき共有点の $x$ 座標は $f(x)=b$ の解である。$-1\le x\le1$ の範囲では $f$ は $-1\le x\le\ln 2$ で減少し、$\ln 2\le x\le1$ の範囲で増加する。各区間の端での値は $$\displaystyle f(-1)=M=1-\frac1e,\qquad f(\ln 2)=m=-(\ln 2)^2,\qquad f(1)=r=e-3.$$ 通常の評価 $2<e<3$ から $r<0<M$ であり、さらに $m<r$ は $\ln 2<1$ と $\ln 2\le x\le1$ の範囲での増加から従う。よって $m<r<M$。

・ $b<m$ または $b>M$ なら解はない。

・ $b=m$ なら極小点 $x=\ln 2$ の1個。

・ $m<b\le r$ なら減少部分に1個、増加部分に1個で、計2個。$b=r$ では増加部分の解が端点 $x=1$ である。

・ $r<b\le M$ なら減少部分に1個だけ。$b=M$ ではその解が端点 $x=-1$ である。

以上より、共有点の個数は $b<m$ または $b>M$ で0個、$b=m$ で1個、$m<b\le r$ で2個、$r<b\le M$ で1個である。