3香川大学 2012年 数学 第3問解答・解説

曲線を表す関数を $f(x)=x\sin x$ とする。

(1) 接点の $x$ 座標を $a$ とすると、積の微分法より $$f'(a)=\sin a+a\cos a.$$ したがって、$x=a$ における接線は $$y=(\sin a+a\cos a)(x-a)+a\sin a=(\sin a+a\cos a)x-a^2\cos a.$$ この接線が原点を通る条件は $a^2\cos a=0$ である。$a=0$ のとき接線は $y=0$。また、$\cos a=0$ のとき $\displaystyle a=\frac{\pi}{2}+k\pi$（$k$ は整数）であり、$\sin a=(-1)^k$ だから接線は $y=x$ または $y=-x$ となる。よって求める接線は $y=0,\ y=x,\ y=-x$ である。

(2) 第1象限では $x>0$ なので、交点の条件 $\displaystyle x\sin x=\frac{x}{2}$ は $\displaystyle \sin x=\frac12$ と同値である。交点の $x$ 座標は小さい順に $$\displaystyle a_n=\frac{\pi}{6}+2(n-1)\pi,\qquad b_n=\frac{5\pi}{6}+2(n-1)\pi\quad(n=1,2,\ldots)$$ と並ぶ。$a_n\le x\le b_n$ の範囲では $\displaystyle \sin x\geq\frac12$ だから、曲線は直線の上側にあり、 $$\displaystyle S_n=\int_{a_n}^{b_n}\left(x\sin x-\frac{x}{2}\right)\,dx.$$ 部分積分により、この被積分関数の原始関数は $$\displaystyle F(x)=-x\cos x+\sin x-\frac{x^2}{4}$$ である。ここで $$\displaystyle \cos a_n=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos b_n=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin a_n=\sin b_n=\frac12, \quad b_n-a_n=\frac{2\pi}{3},\quad a_n+b_n=(4n-3)\pi$$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=F(b_n)-F(a_n)\\ &=\frac{\sqrt3}{2}(a_n+b_n)-\frac{(b_n-a_n)(a_n+b_n)}{4}\\ &=(a_n+b_n)\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{b_n-a_n}{4}\right)\\ &=\frac{(4n-3)\pi(3\sqrt3-\pi)}{6}. \end{aligned}$$

(3) $$\displaystyle q_n=\frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi=\frac{(4n-3)\pi}{2}$$ とおくと、$P_{2n-1}=(a_n,a_n/2)$、$P_{2n}=(b_n,b_n/2)$、$Q_n=(q_n,q_n)$ である。底辺 $P_{2n-1}P_{2n}$ の長さは $$\displaystyle \sqrt{(b_n-a_n)^2+\left(\frac{b_n-a_n}{2}\right)^2}=\frac{\pi\sqrt5}{3}.$$ 直線 $y=x/2$ を $x-2y=0$ と表すと、$Q_n$ からこの直線までの距離は $$\displaystyle \frac{|q_n-2q_n|}{\sqrt5}=\frac{q_n}{\sqrt5}.$$ よって三角形の面積は $$\displaystyle T_n=\frac12\cdot\frac{\pi\sqrt5}{3}\cdot\frac{q_n}{\sqrt5}=\frac{(4n-3)\pi^2}{12}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}=\frac{2(3\sqrt3-\pi)}{\pi}$$ となり、$n$ によらず一定である。