1香川大学 2012年 数学 第1問解答・解説

(1) 行列を成分ごとに計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}3&-6\\6&15\end{pmatrix},\qquad 6A=\begin{pmatrix}12&-6\\6&24\end{pmatrix},\qquad 9E=\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}.$$ したがって $$A^2-6A+9E =\begin{pmatrix}3-12+9&-6+6\\6-6&15-24+9\end{pmatrix} =O.$$

(2) 初期ベクトルに対して $$A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix} =3\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$ 初期値は $n=1$ のとき $3^{n-1}(1,-1)^T$ である。ある $n\ge1$ で $(x_n,y_n)^T=3^{n-1}(1,-1)^T$ とすると、漸化式より $$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix} =3^{n-1}A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} =3^n\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$ よって数学的帰納法により $$\boxed{x_n=3^{n-1},\qquad y_n=-3^{n-1}}.$$

(3) $$N=A-3E=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}$$ とおくと、直接計算により $N^2=O$ であり、$A=3E+N$ である。$n=1$ では $A=3E+N$ だから、 $$A^n=3^nE+n3^{n-1}N$$ が成り立つ。これが $n$ で成り立つと仮定すれば、 $$\begin{aligned} A^{n+1} &=(3^nE+n3^{n-1}N)(3E+N)\\ &=3^{n+1}E+3^nN+n3^nN+n3^{n-1}N^2\\ &=3^{n+1}E+(n+1)3^nN. \end{aligned}$$ したがって帰納法によりこの式はすべての自然数 $n\ge1$ で成り立つ。$N=A-3E$ を代入すると $$A^n=n3^{n-1}A+(1-n)3^nE,$$ よって $$\boxed{a_n=n3^{n-1},\qquad b_n=(1-n)3^n\quad(n\ge1)}.$$