3鹿児島大学 2022年 数学 第3問解答・解説

3--1

(1) 漸化式に順に $n=2,3,4$ を代入すると $$a_3a_1=a_2^2+1=5,\qquad a_4a_2=a_3^2+1=26,\qquad a_5a_3=a_4^2+1=170.$$ $a_1=1,\ a_2=2$ であり、各項は正だから $$a_3=5,\qquad a_4=13,\qquad a_5=34.$$

(2) $n\geq 3$ とする。与えられた漸化式を $n$ および $n-1$ に適用して $$a_{n+1}a_{n-1}=a_n^2+1,\qquad a_na_{n-2}=a_{n-1}^2+1$$ を得る。左辺を変形すると $$\begin{aligned} (a_{n+1}+ca_n+a_{n-1})a_{n-1} &=a_{n+1}a_{n-1}+ca_na_{n-1}+a_{n-1}^2\\ &=a_n^2+1+ca_na_{n-1}+a_{n-1}^2\\ &=a_n^2+ca_na_{n-1}+a_na_{n-2}\\ &=a_n(a_n+ca_{n-1}+a_{n-2}). \end{aligned}$$ これは任意の実数 $c$ について成り立つ。

(3) $d_n=a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}$（$n\geq3$）とおく。(1)より $$d_3=a_3-3a_2+a_1=5-6+1=0.$$ (2)で $c=-3$ とすると $$a_{n-1}d_{n+1}=a_nd_n\qquad(n\geq3)$$ となる。$a_{n-1}>0$ であるから、$d_n=0$ ならば $d_{n+1}=0$ である。$d_3=0$ と合わせ、数学的帰納法によりすべての $n\geq3$ で $d_n=0$、すなわち $$a_n-3a_{n-1}+a_{n-2}=0$$ が成り立つ。

3--2

平行六面体の頂点を $\vec a,\vec b,\vec c$ を基準とする座標で表すと $$O=(0,0,0),\ A=(1,0,0),\ B=(0,1,0),\ C=(0,0,1),\ E=(1,0,1),\ F=(1,1,0),\ G=(1,1,1)$$ である。内分比 $OM:MC=1:t$ より $$\displaystyle M=\left(0,0,\frac1{t+1}\right).$$ (1) 三角形 $ABM$ 上の点 $(x,y,z)$ は $x+y+(t+1)z=1$ を満たす。直線 $OG$ 上の点は $(s,s,s)$ と表せるので、交点 $P$ では $$\displaystyle (t+3)s=1,\qquad s=\frac1{t+3}.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{t+3}.$$

(2) 四面体 $OABX$ の底面を三角形 $OAB$ とすると、頂点 $X$ の位置ベクトルの $\vec c$ の係数が、$C$ から底面への高さに対する高さの比を与える。$E=\vec a+\vec c$ ではその係数が $1$、$P=(\vec a+\vec b+\vec c)/(t+3)$ では $1/(t+3)$ である。底面積は共通だから $$\displaystyle V_1:V_2=1:\frac1{t+3}=(t+3):1.$$

(3) 三角形 $OAB$ の重心は $$\displaystyle Q=\left(\frac13,\frac13,0\right)$$ であり、直線 $FC$ の方向ベクトルは $(-1,-1,1)$ である。(1)の $s=1/(t+3)$ を用いると $$\displaystyle \overrightarrow{QP}=\left(s-\frac13,s-\frac13,s\right).$$ これが $(-1,-1,1)$ に平行なら、第3成分から比例定数は $s$ であり、第1成分から $$\displaystyle s-\frac13=-s$$ を得る。よって $s=1/6$、したがって $t+3=6$ より $t=3$ である。

3--3

大きいサイコロの目を $U$、小さいサイコロの目を $W$ とする。$U,W$ は独立で、それぞれ $1$ から $6$ までの目を同じ確率でとり、 $$X=10U+W,\qquad Y=10W+U,\qquad X-Y=9(U-W)$$ である。 (1) 全事象は $6\cdot6=36$ 通りである。$X-Y>0$ は $U>W$ と同値で、その場合の数は $5+4+3+2+1=15$ 通りだから $$\displaystyle P(X-Y>0)=\frac{15}{36}=\frac5{12}.$$

(2) $E(U)=E(W)=7/2$ なので $$\displaystyle E(X)=10E(U)+E(W)=\frac{77}{2}.$$ また $$\displaystyle V(U)=V(W)=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}-\left(\frac72\right)^2 =\frac{35}{12}.$$ 独立性から $$\displaystyle V(X)=100V(U)+V(W)=101\cdot\frac{35}{12}=\frac{3535}{12}.$$

(3) 独立性と $X-Y=9(U-W)$ より $$\displaystyle V(X-Y)=81\{V(U)+V(W)\} =81\cdot\frac{70}{12}=\frac{945}{2}.$$ したがって $$\displaystyle \sigma(X-Y)=\sqrt{\frac{945}{2}}=\frac{3\sqrt{210}}{2}.$$