6愛媛大学 2022年 数学 第6問解答・解説

（理学部，医学部，工学部工学科理型入試（社会デザインコースを除く））

以下の問いに答えよ。

(1) $t$は $0<t<1$であるとする。座標平面上を動く点 $Q$を考える。$Q$は次の規則 $(*)$に従う移動を繰り返す。

$Q$が点 $(x,y)$にいるとき， $$(*)\quad\text{点 }(x+3,y+2)\text{ または点 }(x+2,y+5)\text{ のどちらかにそれぞれ確率 }t,\ 1-t\text{ で移動する。}$$ $n$を自然数とし，はじめ原点にいた $Q$が $n$回移動したとき，直線 $y=x$上にいる確率を $P_{n}$とおく。

(i) $\vec{a}=(3,2),\ \vec{b}=(2,5)$とする。次の条件 $(\#)$を満たす自然数の組 $(\ell,m)$をすべて求めよ。 $$(\#)\quad\text{原点に関する位置ベクトルが }\ell\vec{a}+m\vec{b}\text{ となる点が直線 }y=x\text{ 上にある。}$$

(ii) (i)で求めた $(\ell,m)$について，$\ell+m$のとりうる値の最小値を $N$とする。このとき，$P_{1},P_{2},\dots,P_{N},P_{N+1},\dots,P_{2N}$を求めよ。

(iii) $t$が $0<t<1$の範囲を動くとき，(ii)で求めた $P_{N}$が最大となる $t$を求めよ。

(2) $x$を実数とし，無限等比級数 $$\displaystyle \frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(x+1)^{4}}+\frac{1}{(x+1)^{6}}+\dots+\frac{1}{(x+1)^{2n}}+\dots\qquad \Diamond$$ を考える。

(i) 無限等比級数 $(\Diamond)$が収束するような $x$の値の範囲を求めよ。

(ii) $x$が(i)で求めた範囲にあるとき，無限等比級数 $(\Diamond)$の和を求めよ。

(iii) (ii)で求めた和を $f(x)$とおく。$k$を2以上の自然数とするとき，曲線 $y=f(x)$と，直線 $x=1,\ x=k$，および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S_{k}$を求めよ。

(iv) (iii)で求めた $S_{k}$について，極限 $\displaystyle\lim\limits _{k\to\infty}S_{k}$を求めよ。