2香川大学 2012年 数学 第2問解答・解説

・ 楕円 $C_1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ では $$\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1.$$ $y_1\ne 0$ のとき、楕円の式を $x$ で微分すると $$\displaystyle \frac{x}{a^2}+\frac{y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0$$ だから、点 $(x_1,y_1)$ における接線の傾きは $-b^2x_1/(a^2y_1)$ である。一方、点 $(x_1,y_1)$ を通る直線 $$\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$$ は、上の点の条件から確かに $(x_1,y_1)$ を通り、その傾きは $-b^2x_1/(a^2y_1)$ である。よってこれが接線である。 $y_1=0$ のとき $x_1=\pm a$ であり、楕円のその点での接線は $x=x_1$。これは同じ式 $x_1x/a^2=1$ である。

・ 接点を $A_i=(x_i,y_i)\ (i=1,2)$ とする。1.より、各接点における接線は $$\displaystyle \frac{x_ix}{a^2}+\frac{y_iy}{b^2}=1.$$ この直線は外部の点 $(p,q)$ を通るので、 $$\displaystyle \frac{px_i}{a^2}+\frac{qy_i}{b^2}=1.$$ したがって各 $A_i$ は $$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$$ 上にある。異なる2点 $A_1,A_2$ を通る直線は一意だから、これが直線 $A_1A_2$ の方程式である。

・ 点 $(p,q)$ が $C_2$ 上にあるなら $$\displaystyle \frac{p^2}{a^2}-\frac{q^2}{b^2}=1$$ であるから、$Q=(p,-q)$ も $C_2$ 上にある。$q\ne0$ のとき、$C_2$ の式を $x$ で微分すると $$\displaystyle \frac{x}{a^2}-\frac{y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0,$$ よって $Q$ における接線の傾きは $-b^2p/(a^2q)$ である。直線 $$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$$ は $Q=(p,-q)$ を通り、傾きも $-b^2p/(a^2q)$ なので、$Q$ における接線である。 $q=0$ のときは $p=\pm a$。このとき与えられた直線は $x=p$ であり、$C_2$ の $(p,0)$ を通る枝を $x=p\sqrt{1+y^2/b^2}$ と表せる。この枝は $y=0$ で $dx/dy=0$ となるから、その接線は垂直線 $x=p$ である。