4香川大学 2012年 数学 第4問解答・解説

・ $n=4k\ (k\ge1)$ とおく。各 $i=1,2,\ldots,2k$ に対して組 $\{i,\,4k+1-i\}$ を作ると、これらの組は互いに素で、その和集合は $X_{4k}$ である。また各組の和は $4k+1$ である。そこで $$\displaystyle A_{4k}=\bigcup\limits _{i=1}^{k}\{i,\,4k+1-i\},\qquad B_{4k}=\bigcup\limits _{i=k+1}^{2k}\{i,\,4k+1-i\}$$ とおく。どちらも $k$ 組を含むので空集合ではなく、 $$a_{4k}=k(4k+1)=b_{4k}$$ となる。

・ $n+1$ が4の倍数なら $n=4k-1\ (k\ge1)$ と書ける。次のようにおく。 $$\displaystyle A_{4k-1}=\{k,\,2k\}\cup\bigcup\limits _{i=1}^{k-1}\{i,\,4k-i\},\qquad B_{4k-1}=X_{4k-1}\setminus A_{4k-1}.$$ $1\le i\le k-1$ に対する各組の要素は、低い方が $1,\ldots,k-1$、高い方が $3k+1,\ldots,4k-1$ にあり、これらは $k,2k$ とも重ならない。したがってこれは $X_{4k-1}$ の部分集合である。$A_{4k-1}$ は空でない。また $3k\in X_{4k-1}$ であり、上記のどの要素にも含まれないから $3k\in B_{4k-1}$ で、$B_{4k-1}$ も空でない。各組の和は $4k$ なので $$a_{4k-1}=k+2k+4k(k-1)=4k^2-k.$$ 一方、 $$\displaystyle 1+2+\cdots +(4k-1)=\frac{(4k-1)4k}{2}=8k^2-2k=2(4k^2-k).$$ よって $b_{4k-1}=(8k^2-2k)-a_{4k-1}=4k^2-k=a_{4k-1}$ である。

・ $n$ も $n+1$ も4の倍数でないとき、$n\equiv1$ または $2\pmod4$ である。$n=4k+1$ なら $$\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2=(4k+1)(2k+1)$$ は奇数である。また $n=4k+2$ なら $$\displaystyle 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2=(2k+1)(4k+3)$$ も奇数である。もし $a_n=b_n$ なら全体の和は $a_n+b_n=2a_n$ で偶数になるが、これは上の奇数という結果に矛盾する。したがって、そのような分け方は存在しない。