4九州大学 2012年 数学 第4問解答・解説

$\alpha+\beta=-p$、$\alpha\beta=q$ を使う。

(1) 展開して $$a_1=\alpha\beta-(\alpha+\beta)+1=p+q+1.$$ また $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=p^2-2q$ より $$a_2=(\alpha\beta)^2-(\alpha^2+\beta^2)+1=q^2-p^2+2q+1.$$ さらに $$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=-p^3+3pq$$ だから $$a_3=(\alpha\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)+1=p^3+q^3-3pq+1.$$ いずれも整数係数の式なので整数である。

(2) はじめの条件から $|\alpha|,|\beta|\ne1$。従って $|\alpha^n|\ne1$、$|\beta^n|\ne1$ であり、全ての $n\ge1$ で $a_n\ne0$。

$(|\alpha|-1)(|\beta|-1)>0$ なら、両方の絶対値が1未満か、両方が1より大きい。

前者では $\alpha^n,\beta^n\to0$ なので $a_n\to1$。従って $\left|a_{n+1}/a_n\right|\to1$。

後者では $\alpha\beta=q\ne0$ で、 $$\displaystyle \frac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha^n-1} =\frac{\alpha-\alpha^{-n}}{1-\alpha^{-n}}\longrightarrow\alpha$$ となる。同様にβの因子はβに近づくから $$\displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\longrightarrow|\alpha\beta|=|q|,$$ これは整数である。

(3) $\phi=(1+\sqrt5)/2$ は無理数である。もし $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)>0$ なら(2)の極限は整数になり、$\phi$ と一致できない。はじめの条件では積は0ではないため、ここでは $(|\alpha|-1)(|\beta|-1)<0$。一方の根を $\gamma$、他方を $\delta$ とし、$|\gamma|>1>|\delta|$ とする。$|\delta|<1$ から $$\displaystyle \frac{\delta^{n+1}-1}{\delta^n-1}\longrightarrow1,$$ また $|\gamma|>1$ から $$\displaystyle \frac{\gamma^{n+1}-1}{\gamma^n-1} =\frac{\gamma-\gamma^{-n}}{1-\gamma^{-n}}\longrightarrow\gamma.$$ 従って条件の極限は $|\gamma|=\phi$。よって $\gamma=\phi$ または $\gamma=-\phi$。

$\phi^2=\phi+1$ を用いる。γ=φなら $$0=\phi^2+p\phi+q=(p+1)\phi+(q+1).$$ p,qは整数でφは無理数なので $p=-1,q=-1$。γ=−φなら $$0=\phi^2-p\phi+q=(1-p)\phi+(1+q),$$ 従って $p=1,q=-1$。

両候補はそれぞれの二次方程式の根が $\phi,-1/\phi$、または $-\phi,1/\phi$ であり、絶対値が一方1より大きく他方1より小さい。従っていずれも元の条件を満たし、極限も $\phi$ となる。