九州大学 2012年数学第5問解答・解説

1問題

九州大学2012年度第5問

いくつかの玉が入った箱 $A$ と箱 $B$ があるとき，次の試行 $T$ を考える。

(試行 $T$ ) 箱 $A$ から2個の玉を取り出して箱 $B$ に入れ，その後，箱 $B$ から2個の玉を取り出して箱 $A$ に入れる。最初に箱 $A$ に黒玉が3個，箱 $B$ に白玉が2個入っているとき，以下の問いに答えよ。

(1) 試行 $T$ を1回行ったときに，箱 $A$ に黒玉が $n$ 個入っている確率 $p_{n}$ $(n=1,2,3)$ を求めて既約分数で表せ。

(2) 試行 $T$ を2回行ったときに，箱 $A$ に黒玉が $n$ 個入っている確率 $q_{n}$ $(n=1,2,3)$ を求めて既約分数で表せ。

(3) 試行 $T$ を3回行ったときに，箱 $A$ の中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) p_1=1/6, p_2=2/3, p_3=1/6 / (2) q_1=5/18, q_2=11/18, q_3=1/9 / (3) 11/108$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

箱Aは毎回3個、黒玉は全体で3個、白玉は全体で2個なので、Aの黒玉数は1,2,3のいずれかである。

Aの黒玉数が $n$ のとき、Aに残す1球が黒の確率は $n/3$ 。この場合、Bの4球は黒2白2だから、戻す黒球数0,1,2の確率はそれぞれ $1/6,4/6,1/6$ 。残す1球が白の場合、Bは黒3白1なので、戻す黒球数1,2の確率はいずれも $1/2$ 。これより、次の黒玉数1,2,3への確率は $\displaystyle \frac{9-2n}{18},\qquad\frac{9+n}{18},\qquad\frac n{18}.$ (1) 初めは $n=3$ なので $\displaystyle (p_1,p_2,p_3)=\left(\frac16,\frac23,\frac16\right).$ (2) 1回後の状態で場合分けすると $\displaystyle q_1=\frac16\frac7{18}+\frac23\frac5{18}+\frac16\frac3{18}=\frac5{18},$ $\displaystyle q_2=\frac16\frac{10}{18}+\frac23\frac{11}{18}+\frac16\frac{12}{18}=\frac{11}{18},\quad q_3=\frac16\frac1{18}+\frac23\frac2{18}+\frac16\frac3{18}=\frac19.$ (3) 求める確率は $\displaystyle \frac5{18}\frac1{18}+\frac{11}{18}\frac2{18}+\frac19\frac3{18}=\frac{33}{324}=\frac{11}{108}.$

この問題で使う考え方

場合分け
全確率

1問題

2答え

3解答

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