1九州大学 2012年 数学 第1問解答・解説

円板の式を $y$ について解き、$s(x)=\sqrt{4-x^2}$ とおくと、$-2\le x\le2$ における縦断面は $$1-s(x)\le y\le1+s(x)$$ である。回転軸 $x$ と縦断面の位置に応じて断面積を分ける。

$|x|\le\sqrt3$ では $s(x)\ge1$ なので縦断面は $x$ 軸をまたぐ。上側の距離 $1+s(x)$ は下側の距離 $s(x)-1$ より大きいため、回転断面は半径 $1+s(x)$ の円板となり、その面積は $\pi(1+s(x))^2$ である。

$\sqrt3\le|x|\le2$ では $s(x)\le1$ なので縦断面は $x$ 軸の上側にある。回転断面は外半径 $1+s(x)$、内半径 $1-s(x)$ の円環であり、面積は $$\pi\{(1+s(x))^2-(1-s(x))^2\}=4\pi s(x)$$ である。左右対称性から体積は $$\displaystyle V=2\pi\int_0^{\sqrt3}(1+\sqrt{4-x^2})^2\,dx +8\pi\int_{\sqrt3}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx.$$

補助積分は、$x=2\sin\theta$ と置換して $$\displaystyle F(x)=\int\sqrt{4-x^2}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\arcsin\frac{x}{2}$$ となる。したがって $$\displaystyle F(2)=\pi,\qquad F(\sqrt3)=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{2\pi}{3}.$$ また $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\sqrt3}(1+\sqrt{4-x^2})^2\,dx &=\int_0^{\sqrt3}(5-x^2+2\sqrt{4-x^2})\,dx\\ &=5\sqrt3+\frac{4\pi}{3},\\ \int_{\sqrt3}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx &=F(2)-F(\sqrt3)=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}. \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\left(5\sqrt3+\frac{4\pi}{3}\right) +8\pi\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)\\ &=\boxed{6\sqrt3\,\pi+\frac{16\pi^2}{3}}. \end{aligned}$$