2九州大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1)　 A=$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$とおく。A$\displaystyle \binom{-3}{5}$=$\displaystyle \binom{0}{-1}$より

-3a+5b=0　$\cdots$(i),　　 -3c+5d=-1　$\cdots$(iii)

A$\displaystyle \binom{7}{-9}$=$\displaystyle \binom{8}{-11}$より

7a-9b=8　$\cdots$(ii),　　 7c-9d=-11　$\cdots$(iv)

(i)$\times$7+(ii)$\times$3より $8b=24,\quad b=3$, (i)より $a=5$。

(iii)$\times$7+(iv)$\times$3より $8d=-40,\quad d=-5$, (iii)より $-3c-25=-1,\quad c=-8$。

よって　 A=$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$。

同様に B=$$\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$$とおくと，B$\displaystyle \binom{0}{-1}$=$\displaystyle \binom{-5}{6}$より $-q=-5,\quad -s=6$すなわち $q=5,\quad s=-6$。

B$\displaystyle \binom{8}{-11}$=$\displaystyle \binom{-7}{10}$より $8p-11q=-7,\quad 8p-55=-7,\quad p=6;\quad 8r-11s=10,\quad 8r+66=10,\quad r=-7$。

よって　 B=$$\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}$$。

$A^{2}=\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}25-24&15-15\\-40+40&-24+25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$。

$B^{2}=\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36-35&30-30\\-42+42&-35+36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$。

ゆえに　 A=$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$, B=$$\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}$$, $A^2=E,\quad B^2=E$。

(2)　 AB=$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}30-21&25-18\\-48+35&-40+30\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}$$。

$(AB)^{2}=\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}81-91&63-70\\-117+130&-91+100\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10&-7\\13&9\end{pmatrix}$。

$(AB)^{3}=(AB)^{2}(AB)=\begin{pmatrix}-10&-7\\13&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-90+91&-70+70\\117-117&91-90\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=E$。

よって $(AB)^3=E$ である（証明終）。

(3)　 (1),(2)で得た$A^2=E,\quad B^2=E,\quad (AB)^3=E$ と積の結合法則のみを用い，各項を既に計算済みの行列の積として書き直す。

【Aから始まる数列】

ABA=(AB)A=$$\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}45-56&27-35\\-65+80&-39+50\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}-11&-8\\15&11\end{pmatrix}$$。

$ABAB=(AB)(AB)=(AB)^{2}=\begin{pmatrix}-10&-7\\13&9\end{pmatrix}$　(既に計算済み)。

$ABABA={(AB)^{2}}A=\begin{pmatrix}-10&-7\\13&9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-50+56&-30+35\\65-72&39-45\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}=B$。

$ABABAB=(AB)^{3}=E$　((2)より)。

$ABABABA=EA=A$　(最初の項に戻る)。

よって Aから始まる数列 A, AB, ABA, ABAB, ABABA, ABABAB,$\dots$ は周期6で

$A\to AB\to ABA\to ABAB(=BA\text{の値})$$\to ABABA(=B)\to ABABAB(=E)\to A\to\cdots$ と循環する。

【Bから始まる数列】

BA=$$\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}30-40&18-25\\-35+48&-21+30\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}-10&-7\\13&9\end{pmatrix}$$　(ABABの値と一致，交差検算)。

BAB=(BA)B=$$\begin{pmatrix}-10&-7\\13&9\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}-60+49&-50+42\\78-63&65-54\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}-11&-8\\15&11\end{pmatrix}$$=ABA　(一致，交差検算)。

BABA=(BAB)A=$$\begin{pmatrix}-11&-8\\15&11\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}-55+64&-33+40\\75-88&45-55\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}$$=AB　(一致)。

$BABAB=(BABA)B=(AB)B=A(B^2)=AE=A\quad(B^2=E)$より；直接計算でも

$$\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}54-49&45-42\\-78+70&-65+60\end{pmatrix}$$=$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$=A　(一致)。

$BABABA=(BABAB)A=A\cdot A=A^2=E$。

$BABABAB=EB=B$　(最初の項に戻る)。

よって Bから始まる数列 B, BA, BAB, BABA, BABAB, BABABA,$\dots$ も周期6で

$B\to BA\to BAB(=ABA)\to BABA(=AB)\to BABAB(=A)\to BABABA(=E)\to B\to\cdots$ と循環する。

以上より，2つの数列はいずれも周期6で同じ6個の行列を巡回するだけであり，それ以外の行列は現れない。相異なるものは次の6個：

A=$$\begin{pmatrix}5&3\\-8&-5\end{pmatrix}$$,　 AB=$$\begin{pmatrix}9&7\\-13&-10\end{pmatrix}$$,　 ABA(=BAB)=$$\begin{pmatrix}-11&-8\\15&11\end{pmatrix}$$, ABAB(=BA)=$$\begin{pmatrix}-10&-7\\13&9\end{pmatrix}$$,　 ABABA(=B)=$$\begin{pmatrix}6&5\\-7&-6\end{pmatrix}$$,　 ABABAB(=BABABA)=E=$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$。