2北里大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) 変換の定義から、点 $(x,y)$ の像の座標は $(ax+by,cx+dy)$ である。$(1,1)$ の像が $(3,3)$ なので $a+b=3,\ c+d=3$ である。任意の $(r,s)$ を像とする点を求める連立方程式を考えると、二つの式の差から $$(a-c)(x-y)=r-s.$$ 仮定 $a\ne c$ より $x-y=(r-s)/(a-c)$ が一意に定まり、さらに $r=a(x-y)+3y$ から $y=(r-a(x-y))/3$、続いて $x=y+(x-y)$ が一意に定まる。したがって任意の点に対して像を与える点がただ一つ存在し、この変換は逆変換をもつ。よって行列 $A$ は逆行列 $A^{-1}$ をもつ。　 (2) $f^{-1}$ が $(4,-1)$ を $(3,-2)$ に移すので、逆変換の定義から $f$ は $(3,-2)$ を $(4,-1)$ に移す。したがって $$a+b=3,\quad c+d=3,\quad 3a-2b=4,\quad 3c-2d=-1.$$ 最初の式から $b=3-a$ として第三式に代入すると $5a-6=4$ より $a=2, b=1$ である。同様に $d=3-c$ を第四式に代入すると $5c-6=-1$ より $c=1,d=2$ となる。よって $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}.$$ 実際、この変換は $(1,1)\mapsto(3,3)$、$(3,-2)\mapsto(4,-1)$ を満たす。　 (3) $P=(x,y)$ とおくと $x^2+y^2=1$ であり、(2)の変換で移る点は $Q=(2x+y,x+2y)$ である。$t=xy$ とおけば $$\overrightarrow{OP}\mathbin{\cdot}\overrightarrow{OQ}=x(2x+y)+y(x+2y)=2+2t,$$ $$|OP|=1,\qquad |OQ|^2=(2x+y)^2+(x+2y)^2=5+8t.$$ また $(x+y)^2=1+2t\geq0$ なので $2+2t\geq1>0$ であり、$|OQ|^2\geq1>0$ である。内積の定義より、なす角を $\theta$ とすると $$\displaystyle \cos\theta=\frac{2+2t}{\sqrt{5+8t}}.$$ これが $\cos(\pi/6)=\sqrt3/2$ に等しい条件を両辺正として二乗すると $$16(1+t)^2=15+24t\quad\text{すなわち}\quad(4t+1)^2=0,$$ よって $\displaystyle t=-\frac14$ である。このとき $2+2t>0$ なので二乗による余分な解はなく、実際に内積から得る角は $\pi/6$ となる。さらに $$\displaystyle (x+y)^2=1+2xy=\frac12,\qquad (x-y)^2=1-2xy=\frac32.$$ したがって $x+y=\varepsilon/\sqrt2,\ x-y=\delta\sqrt{3/2}$（$\varepsilon,\delta\text{ はそれぞれ }-1\text{ または }1$）であり、加減して $$\displaystyle P=\left(\frac{\varepsilon+\delta\sqrt3}{2\sqrt2},\frac{\varepsilon-\delta\sqrt3}{2\sqrt2}\right)\qquad(\varepsilon,\delta\text{ はそれぞれ }-1\text{ または }1)$$ を得る。符号の選択は独立なので、これは求める4点すべてである。