7愛媛大学 2013年 数学 第7問解答・解説

変換は $$\displaystyle f(x,y)=\left(\frac52x-\frac14y,\ ax+by\right)$$ である。

(1) 条件①で $A=(1,m)$ が不動だから、 $$\displaystyle \frac52-\frac m4=1,\qquad a+bm=m.$$ よって $m=6$、$a+6b=6$ を得る。さらに $$\displaystyle B'=f(0,1)=\left(-\frac14,b\right),\quad \overrightarrow{BB'}=\left(-\frac14,b-1\right),\quad \overrightarrow{OC}=(6,-1).$$ 条件②の内積を0とおくと $$\displaystyle -\frac14\cdot6-(b-1)=0,$$ したがって $\displaystyle b=-\frac12$、$a=9$。

(2) 任意の $P=(x,y)$ について、 $$\displaystyle \overrightarrow{PP'}= \left(\frac32x-\frac14y,\ 9x-\frac32y\right).$$ よって $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{PP'}\cdot\overrightarrow{OC} &=6\left(\frac32x-\frac14y\right)-\left(9x-\frac32y\right)\\ &=0. \end{aligned}$$

(3) $Q=(t,t^2-1)$ に対して、 $$\displaystyle Q'=\left(\frac52t-\frac14(t^2-1),\ 9t-\frac12(t^2-1)\right),$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{QQ'}= \left(\frac{-t^2+6t+1}{4},\ \frac32(-t^2+6t+1)\right).$$ その長さは $$\displaystyle \begin{aligned} \left|\overrightarrow{QQ'}\right| &=\frac{\sqrt{37}}4\left|-t^2+6t+1\right|\\ &=\frac{\sqrt{37}}4\left|10-(t-3)^2\right|. \end{aligned}$$ 最小値は0であり、これは $(t-3)^2=10$ のときに達する。ゆえに $t=3\pm\sqrt{10}$。